Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» - сложность 1-2 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.

На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.

а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны <i>a</i>и <i>b</i>, то его длина не меньше (<i>a</i>+<i>b</i>)/$\sqrt{2}$. б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что его периметр не меньше $\sqrt{2}$(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36^<tt>o</tt>.

Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.

Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.

В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90^<tt>o</tt>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.

В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.

Выпуклый многоугольник, площадь которого больше 0, 5, помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри многоугольника можно поместить отрезок длины 0, 5, параллельный стороне квадрата.

Площади треугольников <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равны <i>S</i>и <i>S</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>не тупоугольный. Наибольшее из отношений <i>a</i>₁/<i>a</i>,<i>b</i>₁/<i>b</i>и <i>c</i>₁/<i>c</i>равно <i>k</i>. Докажите, что <i>S</i>₁$\leq$<i>k</i>²<i>S</i>.

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что <i>a</i>/$\alpha$+<i>b</i>/$\beta$+<i>c</i>/$\gamma$$\geq$3/2.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57344/problem_57344_img_6.gif" border="1"></div>

<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник площади <i>S</i>. Угол между прямыми <i>AB</i>и <i>CD</i>равен <i>a</i>, угол между <i>AD</i>и <i>BC</i>равен $\beta$. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>AB</i>^.<i>CD</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>AD</i>^.<i>BC</i> sin$\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2<i>S</i> $\displaystyle \leq$ <i>AB</i>^.<i>CD</i> + <i>AD</i>^.<i>BC</i>. </div>

Площади треугольников<i>ABC</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂равны <i>S</i>,<i>S</i>₁,<i>S</i>₂соответственно, причем <i>AB</i>=<i>A</i>₁<i>B</i>₁+<i>A</i>₂<i>B</i>₂,<i>AC</i>=<i>A</i>₁<i>C</i>₁+<i>A</i><sub>2</sub&...

Точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>, причем <i>AM</i>=<i>CN</i>и <i>AN</i>=<i>BM</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>BMNC</i>по крайней мере в три раза больше площади треугольника <i>AMN</i>.

Периметр выпуклого четырехугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.

Пусть <i>E</i>,<i>F</i>,<i>G</i>и <i>H</i> — середины сторон <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABCD$\leq$<i>EG</i>^.<i>HF</i>$\le$(<i>AB</i>+<i>CD</i>)(<i>AD</i>+<i>BC</i>)/4.

Дан треугольник площади 1 со сторонами <i>a</i>$\leq$<i>b</i>$\leq$<i>c</i>. Докажите, что <i>b</i>$\geq$$\sqrt{2}$.

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством <i>a</i>²+<i>b</i>²> 5<i>c</i>², то <i>c</i> — длина наименьшей стороны.

В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.

Пусть <i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник, причем <i>AB</i>+<i>BD</i>$\leq$<i>AC</i>+<i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i><<i>AC</i>.