Задача
Пусть E,F,Gи H — середины сторон AB,BC,CDи DAчетырехугольника ABCD. Докажите, чтоSABCD$\leq$EG . HF$\le$(AB+CD)(AD+BC)/4.
Решение
Так как EH — средняя линия треугольника ABD, то SAEH=SABD/4. Аналогично SCFG=SCBD/4. Поэтому SAEH+SCFG=SABCD/4. Аналогично SBFE+SDGH=SABCD/4. Следовательно, SABCD= 2SEFGH=EG . HFsin$\alpha$, где $\alpha$ — угол между прямыми EGи HF. Так как sin$\alpha$$\leq$1, то SABCD$\leq$EG . HF. Складывая равенства $\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CG}$и $\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DG}$, получаем 2$\overrightarrow{EG}$= ($\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$) + ($\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AD}$) + ($\overrightarrow{DG}$+$\overrightarrow{CG}$) =$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AD}$. ПоэтомуEG$\leq$(BC+AD)/2. Аналогично HF$\leq$(AB+CD)/2. Следовательно,
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь