Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 6-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.

Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?

Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.

Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.

В параллелограмм <i>P</i>₁ вписан параллелограмм <i>P</i>₂, а в параллелограмм <i>P</i>₂ вписан параллелограмм <i>P</i>₃, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i>₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i>₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i>₃.

Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i>_ABCD.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABCD< 4<i>S</i>_AMN.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что  <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.

Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.

На основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>нашлась точка <i>E</i>, обладающая тем свойством, что периметры треугольников <i>ABE</i>,<i>BCE</i>и <i>CDE</i>равны. Докажите, что тогда <i>BC</i>=<i>AD</i>/2.

Внутри треугольника <i>ABC</i>периметра <i>P</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что <i>P</i>/2 <<i>AO</i>+<i>BO</i>+<i>CO</i><<i>P</i>.

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.) б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

Точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁взяты на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника <i>ABC</i>так, что <i>BA</i>₁=$\lambda$^.<i>BC</i>,<i>CB</i>₁=$\lambda$^.<i>CA</i>,<i>AC</i>₁=$\lambda$^.<i>AB</i>, причем 1/2 <$\lambda$< 1. Докажите, что периметр <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>и периметр <i>P</i>₁треугольника <i>A</i>₁&...

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством <i>a</i>²+<i>b</i>²> 5<i>c</i>², то <i>c</i> — длина наименьшей стороны.

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей <i>d</i>расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей <i>d'</i>. Докажите, что <i>d'</i>< 2<i>d</i>.

Пусть <i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник, причем <i>AB</i>+<i>BD</i>$\leq$<i>AC</i>+<i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i><<i>AC</i>.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Пусть <i>p</i>=${\frac{a}{b}}$+${\frac{b}{c}}$+${\frac{c}{a}}$и <i>q</i>=${\frac{a}{c}}$+${\frac{c}{b}}$+${\frac{b}{a}}$. Докажите, что |<i>p</i>-<i>q</i>| < 1.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>(<i>b</i> - <i>c</i>)² + <i>b</i>(<i>c</i> - <i>a</i>)² + <i>c</i>(<i>a</i> - <i>b</i>)² + 4<i>abc</i> > <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³. </div>