Пусть A_pA_p+1 и A_qA_q+1 – несмежные стороны n-угольника A₁...A_n. Тогда  A_pA_p+1 + A_qA_q+1 < A_pA_q + A_p+1A_q+1.  Запишем все такие неравенства и сложим их. Для каждой стороны найдётся ровно  n – 3  несмежных с ней сторон, поэтому она входит в  n – 3  неравенства, то есть в левой части полученной суммы стоит  (n – 3)P,  где P  – сумма длин сторон n-угольника. Диагональ A_mA_n входит в два неравенства: для  p = n,  q = m  и для

p = n – 1,  q = m – 1,  поэтому в правой части стоит 2D, где D – сумма длин диагоналей. Итак,  (n – 3)P < 2D.  Следовательно,  ^P/_n < ^D/_½n(n–3),  что и требовалось (количество диагоналей согласно задаче 160391 равно  ½ n(n – 3)).

Ответ задачи отсутствует