Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 4-9 класса - сложность 1-3 с решениями
глава 9. Геометрические неравенства
НазадДан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.
Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.
Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.
На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра <i>P</i>можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на <i>P</i>/3.
а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны <i>a</i>и <i>b</i>, то его длина не меньше (<i>a</i>+<i>b</i>)/$\sqrt{2}$. б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что его периметр не меньше $\sqrt{2}$(<i>a</i>+<i>b</i>).
Длины сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей <i>AD</i>,<i>BE</i>,<i>CF</i>меньше 2.
Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>равны 1, то радиус описанной окружности одного из треугольников <i>ACE</i>и <i>BDF</i>не превосходит 1.
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята точка <i>P</i>. Докажите, что расстояния от точки <i>P</i>до некоторых трех вершин шестиугольника не меньше 1.
Пусть <i>ABCDE</i> — выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем <i>AB</i>=<i>a</i>,<i>BC</i>=<i>b</i>,<i>CD</i>=<i>c</i>,<i>DE</i>=<i>d</i>,<i>AE</i>= 2. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sup>2</sup> + <i>b</i><sup>2</sup> + <i>c</i><sup>2</sup> + <i>d</i><sup>2</sup> + <i>abc</i> + <i>bcd</i> < 4. </div>
Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36<sup><tt>o</tt></sup>.
В параллелограмм <i>P</i><sub>1</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub>, а в параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>3</sub>, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i><sub>1</sub>. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i><sub>1</sub> не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i><sub>3</sub>.
Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.
Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i><sub>ABCD</sub>.
Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ABCD</sub>< 4<i>S</i><sub>AMN</sub>.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.
Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.
В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.
В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.