Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 7-10 класса - сложность 5 с решениями

Точки <i>A</i>₁,...,<i>A</i>₆лежат на одной окружности, а точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — на прямых <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₃<i>A</i>₄,<i>A</i>₁<i>A</i>₆и <i>A</i>₄<i>A</i>₅соответственно, причем <i>KL</i>|<i>A</i>₂<i>A</i>₃,<i>LM</i>|<i>A</i>₃<i>A&lt...

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

Две окружности касаются описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в точке<i>K</i>; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны<i>AB</i>в точке<i>M</i>, а другая касается стороны<i>AC</i>в точке<i>N</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит на прямой<i>MN</i>.

Точки <i>A</i>и <i>A</i>₁, лежащие внутри окружности с центром <i>O</i>, симметричны относительно точки <i>O</i>. Лучи <i>AP</i>и <i>A</i>₁<i>P</i>₁сонаправлены, лучи <i>AQ</i>и <i>A</i>₁<i>Q</i>₁тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых <i>P</i>₁<i>Q</i>и <i>PQ</i>₁лежит на прямой <i>AA</i>₁. (Точки <i>P</i>,<i>P</i>₁,<i>Q</i>и <i>Q</i><sub>1</sub&g...

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность с центром<i>O</i>. Точка<i>X</i>такова, что$\angle$<i>BAX</i>=$\angle$<i>CDX</i>= 90^<tt>o</tt>. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника<i>ABCD</i>лежит на прямой<i>XO</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность <i>S</i>; <i>X</i> — произвольная точка, <i>M</i>и <i>N</i> — вторые точки пересечения прямых <i>XA</i>и <i>XD</i>с окружностью <i>S</i>. Прямые <i>DC</i>и <i>AX</i>, <i>AB</i>и <i>DX</i>пересекаются в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>MN</i>и <i>EF</i>лежит на прямой <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁и биссектрисы <i>AA</i>₂и <i>BB</i>₂; вписанная окружность касается сторон <i>BC</i>и <i>AC</i>в точках <i>A</i>₃и <i>B</i>₃. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃пересекаются в одной точке или параллельны.

Даны треугольник<i>ABC</i>и некоторая точка <i>T</i>. Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>T</i>на прямые<i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно, a <i>R</i>и <i>S</i> — основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>A</i>на прямые<i>TC</i>и<i>TB</i>соответственно. Докажите, что точка пересечения <i>X</i>прямых<i>PR</i>и <i>QS</i>лежит на прямой<i>BC</i>.

Точка <i>M</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; <i>R</i> — произвольная точка. Прямые <i>AR</i>,<i>BR</i>и <i>CR</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что точки пересечения прямых <i>MA</i>₁и <i>BC</i>, <i>MB</i>₁и <i>CA</i>, <i>MC</i>₁и <i>AB</i>лежат на одной прямой, проходящей через точку <i>R</i>.

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Положительные числа <i>a</i>₁,...,<i>a</i>_nтаковы, что 2<i>a</i>_i<<i>a</i>₁+ ... +<i>a</i>_nпри всех <i>i</i>= 1,...,<i>n</i>. Докажите, что существует вписанный <i>n</i>-угольник, длины сторон которого равны <i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n.

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике <i>A</i>₁...<i>A</i>₃₀ следующие тройки диагоналей:

  а) <i>A</i>₁<i>A</i>₇, <i>A</i>₂<i>A</i>₉, <i>A</i>₄<i>A</i>₂₃;

  б) <i>A</i>₁<i>A</i>₇, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₅, <i>A</i>₄<i>A</i>₂₉;

  в) <i>A</i>₁<i>A</i>&lt...

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника<i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>равны. б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке.

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.

Окружности $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$касаются данной окружности в вершинах <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Пусть <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$} — длина общей касательной к окружностям $\alpha$и $\beta$(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <i>t</i>_{$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$},<i>t</i>_{$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$}и т. д. определяются аналогично. Докажите, что <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$}<...

Окружности радиуса <i>x</i>и <i>y</i>касаются окружности радиуса <i>R</i>, причем расстояние между точками касания равно <i>a</i>. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям: а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно; б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Окружности, диаметрами которых служат стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, касаются сторон <i>CD</i>и <i>AB</i>соответственно. Докажите, что <i>BC</i>|<i>AD</i>.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>; <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁ — центры описанных окружностей треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>ABC</i>. Аналогично для четырехугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁определяются точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂,<i>C</i>₂и <i>D</i>₂. Докажите, что чет...

О выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i>известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>, равны между собой. Докажите, что <i>ABCD</i> — прямоугольник.

Продолжения сторон четырехугольника <i>ABCD</i>, вписанного в окружность с центром <i>O</i>, пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>S</i>. а) Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>до точки <i>O</i>равны <i>p</i>,<i>q</i>и <i>s</i>, а радиус описанной окружности равен <i>R</i>. Найдите длины сторон треугольника <i>PQS</i>. б) Докажите, что высоты треугольника <i>PQS</i>пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂,<i>S</i>₂и<i>S</i>₃,<i>S</i>₃и<i>S</i>₄,<i>S</i>₄и<i>S</i>₁касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников. а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный. б) Докажите, что если<i>r</i>_a,<i>r</i>_b,<i>r</i>_c,<i>r</i>_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, то<div align="CENTER">...