Задача
Дан выпуклый четырехугольник ABCD; A1,B1,C1и D1 — центры описанных окружностей треугольников BCD,CDA,DABи ABC. Аналогично для четырехугольника A1B1C1D1определяются точки A2,B2,C2и D2. Докажите, что четырехугольники ABCDи A2B2C2D2подобны, причем коэффициент их подобия равен |(ctgA+ctgC)(ctgB+ctgD)/4|.
Решение
Точки C1и D1лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB, поэтому AB$\perp$C1D1. Аналогично C1D1$\perp$A2B2, а значит, AB|A2B2. Аналогично доказывается, что параллельны и остальные соответственные стороны и диагонали четырехугольников ABCDи A2B2C2D2. Следовательно, эти четырехугольники подобны. Пусть M — середина отрезка AC. Тогда B1M= |AMctgD| и D1M= |AMctgB|, причем B1D1= |ctgB+ctgD| . AC/2. Повернем четырехугольник A1B1C1D1на 90o. Тогда, воспользовавшись результатом задачи 6.25, получим, что этот четырехугольник выпуклый, причем ctgA= -ctgC1и т. д. ПоэтомуA2C2= |ctgA+ctgC| . B1D1/2 = |(ctgA+ctgC)(ctgB+ctgD)/4| . AC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь