Достроим треугольники ABDи DBCдо параллелограммов ABDA₁и DBCC₁. Отрезки, соединяющие точку Dс вершинами параллелограмма ACC₁A₁, делят его на четыре треугольника, равных треугольникам DAB,CDA,BCDи ABC, поэтому радиусы вписанных окружностей этих треугольников равны. Докажем, что точка Dсовпадает с точкой Oпересечения диагоналей параллелограмма. Если D$\ne$0, то можно считать, что точка Dлежит внутри треугольника AOC. Тогдаr_ADC<r_AOC=r_A1OC1<r_A1DC1=r_ABC(см. задачу 10.86). Получено противоречие, поэтому D=O. Так как p=S/r, а площади и радиусы вписанных окружностей треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм ACC₁A₁, равны, то равны и их периметры. Поэтому ACC₁A₁ — ромб, a ABCD — прямоугольник.

Ответ задачи отсутствует