Задача
Окружности $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$касаются данной окружности в вершинах A,B,Cи Dвыпуклого четырехугольника ABCD. Пусть t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $\alpha$и $\beta$(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$,t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$и т. д. определяются аналогично. Докажите, что t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$+t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$=t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$(обобщенная теорема Птолемея).
Решение
Пусть R — радиус описанной окружности четырехугольника ABCD; ra,rb,rcи rd — радиусы окружностей $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$. Пусть далее a=$\sqrt{R\pm r_a}$, причем знак плюс берется в случае внешнего касания, а знак минус — в случае внутреннего; числа b,cи dопределяются аналогично. Тогда t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$=abAB/R(см. задачу 6.42) и т. д. Поэтому, домножая равенство AB . CD+BC . DA=AC . BDна abcd/R, получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь