а) Вписанная трапеция является равнобочной, поэтому если данный шестиугольник вписанный, то его диагонали равны. Предположим теперь, что диагонали данного шестиугольникаABCDEFравны. Тогда, например,ABDE— равнобочная трапеция, причем прямая, соединяющая середины ее основанийABиED, является биссектрисой угла между прямымиADиBE. Поэтому прямые, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольникаABCDEF, пересекаются в одной точкеO— точке пересечения биссектрис треугольника, образованного диагоналямиAD,BEиCF(если диагонали пересекаются в одной точке, то в качествеOберется именно эта точка). б) В случае невыпуклого шестиугольникаABCDEFединственное существенное отличие заключается в том, что теперь прямая, соединяющая середины сторонABиED, может быть не только биссектрисой внутреннего угла, образованного диагоналямиAD,BEиCF, но и биссектрисой внешнего угла. А три биссектрисы треугольника, среди которых есть как внутренние, так и внешние, не всегда пересекаются в одной точке (внешних биссектрис должно быть чётное число). Поэтому дополнительно нужно доказать, что в рассматриваемой ситуации три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке. Для этого мы воспользуемся тем, что рассматриваемые биссектрисыl₁,l₂,l₃можно занумеровать так, что композиция симметрий(S_l1oS_l2oS_l3)²оставляет точкуAна месте:A$\to$B$\to$C$\to$D$\to$E$\to$F$\to$A. Действительно, согласно задаче 17.37преобразованиеS_l1oS_l2oS_l3является скользящей симметрией, а согласно задаче 17.22Bэто преобразование является симметрией тогда и только тогда, когда прямыеl₁,l₂иl₃пересекаются в одной точке.

Ответ задачи отсутствует