Задача
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.
Решение
Предположим, что диагонали шестиугольника образуют треугольник PQR. Обозначим вершины шестиугольника следующим образом: вершина Aлежит на луче QP, B — на RP, C — на RQи т. д. Так как прямые ADи BEделят площадь шестиугольника пополам, то SAPEF+SPED=SPDCB+SABPи SAPEF+SABP=SPDCB+SPED. Поэтому SABP=SPED, т. е.
AP . BP = EP . DP = (ER + RP)(DQ + QP) > ER . DQ.
Аналогично CQ . DQ>AP . FRи FR . ER>BP . CQ.
Перемножая эти неравенства, получаемAB . BP . CQ . DQ . FR . ER>ER . DQ . AP . FR . BP . CQ,
чего не может
быть. Поэтому диагонали шестиугольника пересекаются в
одной точке.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет