Олимпиадные задачи из источника «Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина» - сложность 4-5 с решениями

На стороне <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i> выбрали точку <i>M</i>. Пусть <i>X, Y, Z</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABM, CMD, AMD</i> соответственно; <i>H_x, H_y, H_z</i> – ортоцентры треугольников <i>AXB, CYD, AZD</i> соответственно. Докажите, что точки <i>H_x, H_y, H_z</i> лежат на одной прямой.

Пусть <i>M</i> и <i>I</i> – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а <i>r</i> – радиус вписанной в него окружности.

Докажите, что  <i>MI</i> = ^<i>r</i>/₃  тогда и только тогда, когда прямая <i>MI</i> перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>X, Y</i>, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – проекции <i>X</i> на <i>BC, CA, AB</i>, а <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ – проекции <i>Y</i>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на, соответственно, <i>B</i>₂<i>C</i>₂, <i>C</...

Через вершины треугольника <i>ABC</i> проводятся три произвольные параллельные прямые <i>d_a, d_b, d_c</i>. Прямые, симметричные <i>d_a, d_b, d_c</i> относительно <i>BC, CA, AB</i> соответственно, образуют треугольник <i>XYZ</i>. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Пусть<i> h </i> — наименьшая высота тетраэдра,<i> d </i> — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких<i> t </i>возможно неравенство<i> d>th </i>?

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен? б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

Докажите, что для треугольника со сторонами<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>и площадью<i> S </i>выполнено неравенство <center><i>

a²+b²+c²-<img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_2.gif"> </i>(<i>|a-b|+|b-c|+|c-a|</i>)<i>²<img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_3.gif"> </i>4<i><img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_4.gif"> S.

</i></center>

Дан треугольник<i> ABC </i>и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные<i> AC </i>и<i> BC </i>. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями<i> ABC </i>.

Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Точки<i> X </i>,<i> Y </i>на окружностях таковы, что существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых<i> AX </i>и<i> BY </i>.

Дан выпуклый четырехугольник<i> ABCD </i>.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>,<i> D' </i>– ортоцентры треугольников<i> BCD </i>,<i> CDA </i>,<i> DAB </i>,<i> ABC </i>. Докажите, что в четырехугольниках<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо 90, либо 270 градусов. Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?

Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Прямые, содержащие медианы треугольника <i>ABC</i>, вторично пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁. Прямые, проходящие через <i>A, B, C </i> и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i>C</i>₁<i>C</i><sub>2</sub&...

Дана окружность и точка<i> P </i>внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке<i> P </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.

Проекции точки <i>X</i> на стороны четырёхугольника <i>ABCD</i> лежат на одной окружности. <i>Y</i> – точка, симметричная <i>X</i> относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки <i>B</i> на прямые <i>AX, XC, CY, YA</i> также лежат на одной окружности.

Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей<i> b₁ </i>и<i> b₂ </i>касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей<i> c₁ </i>и<i> c₂ </i>касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что8точек, в которых окружности<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>пересекают<i> c₁ </i>,<i> c₂ </i>, лежат на двух окружностях, отличных от<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>,<i> c₁ </i>,&lt...

Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?

Четырехугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность с центром<i> O </i>. Точки<i> C' </i>,<i> D' </i>симметричны ортоцентрам треугольников<i> ABD </i>и<i> ABC </i>относительно<i> O </i>. Докажите, что если прямые<i> BD </i>и<i> BD' </i>симметричны относительно биссектрисы угла<i> B </i>, то прямые<i> AC </i>и<i> AC' </i>симметричны относительно биссектрисы угла<i> A </i>.

Сфера, вписанная в тетраэдр <i>ABCD</i>, касается его граней в точках <i>A', B', C', D'</i>. Отрезки <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки <i>CC'</i> и <i>DD'</i> тоже пересекаются на вписанной сфере.