Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место для точки P внутри окружности
Задача
Дана окружность и точка P внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке P . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Решение
Пусть X – точка пересечения касательных. Проведем окружность с центром X и радиусом XP и рассмотрим инверсию относительно нее. При этой инверсии окружности, касающиеся в точке P , перейдут друг в друга, так как они касаются окружности инверсии и двух прямых, переходящих в себя. Следовательно, исходная окружность перейдет в себя. Значит, окружность инверсии ортогональна исходной, т.е. касательная из X к исходной окружности равна XP и X лежит на радикальной оси точки P и исходной окружности. Очевидно, что любая точка радикальной оси может быть получена таким образом, т.е искомое ГМТ совпадает с радикальной осью точки P и исходной окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь