Олимпиадная задача по стереометрии: неравенство d > th для тетраэдра, сложности 5/5
Задача
Пусть h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких t возможно неравенство d>th ?
Решение
При t<3/2. Пусть ABC — грань наибольшей площади тетраэдра ABCD . Тогда его объем равен V=SABCh/3. С другой стороны он равен половине произведения длин противоположных ребер на расстояние и синус угла между ними. Пусть A'B'C' — треугольник, средними линиями которого являются стороны ABC . Тогда, например, SA'B'D=AB· CD sinϕ , где ϕ — угол между AB и CD . Поскольку сумма площадей боковых граней тетраэдра больше площади его основания, площадь треугольника A'B'C' не превосходит утроенной максимальной площади треугольников A'B'D , B'C'D , C'A'D , т.е. d<3h/2. Усилить это неравенство нельзя, так как если взять правильную пирамиду и устремить ее высоту к нулю, отношение d/h будет стремиться к3/2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь