Олимпиадная задача: серединные перпендикуляры в треугольнике — анализ и доказательство

  а) Пусть в треугольнике ABC  ∠A < ∠B ≤ ∠C.  Тогда серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC пересекают сторону AB. Отрезки этих перпендикуляров, лежащие внутри треугольника, имеют равные проекции на прямые, перпендикулярные AB, но образуют с этими прямыми разные углы. Следовательно, они не равны.

  Пусть теперь  ∠A ≤ ∠B < ∠C.  Тогда серединные перпендикуляры к AB и AC пересекают соответственно AC и AB и, значит, отрезают от треугольника ABC подобные, но не равные треугольники. Отрезки перпендикуляров, лежащие внутри треугольника, являются соответствующими сторонами этих треугольников и, следовательно, не равны.   б) Например, рассмотрим треугольник с углами  A = ^π/₈,  B = ^π/₄,  C = ^5π/₈  и единичным радиусом описанной окружности. В нем серединный перпендикуляр к AB пересекает сторону AC и его отрезок, лежащий внутри треугольника, равен  ½ AB tg∠A = sin ^5π/₈ tg ^π/₈ = cos ^π/₈ tg ^π/₈ = sin ^π/₈.  Серединный перпендикуляр к BC пересекает AB и длина соответствующего отрезка равна ½ BC tg∠B = sin ^π/₈.  Таким образом эти отрезки равны.   в) Если треугольник равнобедренный, то, как показано в а), отрезки серединных перпендикуляров к боковым сторонам короче высоты.

  Пусть  ∠A < ∠B < ∠C.  Тогда из условия следует, что  cos∠A tg∠B = sin∠C.  Значит, отношение t отрезков перпендикуляров к наибольшей и средней сторонам треугольника равно отношению самих этих сторон, то есть  

  Из равенства     получаем  sin²∠A cos²∠B = sin²∠B (1 – cos∠B)²t²,  или  (1 – t² cos²∠B) cos²∠B = (1 – cos²∠B)(1 – cos∠B)²t²,  откуда  

  Исследовав функцию     можно убедиться, что её максимум меньше, чем ⁴/₃.

а) Верно;  б) неверно;  в) не могут.