Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями
Московская устная олимпиада по геометрии
НазадНа плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?
В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и <i>AB = BC = BD</i>. Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.
Hа сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>', <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно так, что угол <i>A</i>'<i>C</i>'<i>B</i>' — прямой. Докажите, что отрезок <i>A</i>'<i>B</i>' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.
Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.
Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.
Дан шестиугольник <i>ABCDEF</i>, в котором <i>AB</i> = <i>BC</i>, <i>CD</i> = <i>DE</i>, <i>EF</i> = <i>FA</i>, а углы <i>A</i> и <i>C</i> — прямые. Докажите, что прямые <i>FD</i> и <i>BE</i> перпендикулярны.
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>AK</i> = <i>BL</i>, а на стороне <i>BC</i> — точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>CN</i> = <i>BM</i>. Докажите, что <i>KN</i> + <i>LM</i> ≥ <i>AC</i>.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно.
Докажите, что углы <i>ADP</i> и <i>ABQ</i> равны.
В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116184/problem_116184_img_2.gif"></div>
Внутри отрезка <i>АС</i> выбрана произвольная точка <i>В</i> и построены окружности с диаметрами <i>АВ</i> и <i>ВС</i>. На окружностях (в одной полуплоскости относительно <i>АС</i>) выбраны соответственно точки <i>M</i> и <i>L</i> так, что ∠<i>MBA</i> = ∠<i>LBC</i>. Точки <i>K</i> и <i>F</i> отмечены соответственно на лучах <i>ВМ</i> и <i>BL</i> так, что
<i>BK = BC</i> и <i>BF = AB</i>. Докажите, что точки <i>M, K, F</i> и <i>L</i> лежат на одной окружности.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> ∠<i>ABC</i> = 90°, ∠<i>BAC</i> = ∠<i>CAD, AC = AD, DH</i> – высота треугольника <i>ACD</i>.
В каком отношении прямая <i>BH</i> делит отрезок <i>CD</i>?
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (<i>исследование вопроса о количестве решений не требуется</i>).
B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин другой боковой стороны и другой диагонали.
Докажите, что трапеция равнобокая.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Tочка <i>A</i> лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые <i>AP</i> и <i>AQ</i> пересекают вторую окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Укажите положение точки <i>A</i>, при котором треугольник <i>ABC</i> имеет наибольшую площадь.
Tреугольник разбили на пять треугольников, ему подобных. Bерно ли, что исходный треугольник – прямоугольный?
Пусть <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Oкружность, описанная около треугольника <i>BIC</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>EF</i> касается окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>.
Постройте параллелограмм <i>ABCD</i>, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот <i>BH</i> и <i>BP</i> и середина стороны <i>AD</i>.
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Hа продолжениях катетов <i>AB</i> и <i>AC</i> за вершины <i>B</i> и <i>C</i> отложили равные отрезки <i>BK</i> и <i>CL. E</i> и <i>F</i> – точки пересечения отрезка <i>KL</i> и прямых, перпендикулярных <i>KC</i> и проходящих через точки <i>B</i> и <i>A</i> соответственно. БикЮ Докажите, что <i>EF = FL</i>.
Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).
Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>AB, M</i> – середина <i>AB</i>. Описанные окружности треугольников <i>AMA</i><sub>1</sub> и <i>BMB</i><sub>1</sub>, пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что <i>K, M</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой.
B трапеции <i>ABCD</i> <i>AB</i> = <i>BC</i> = <i>CD</i>, <i>CH</i> – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>H</i> на <i>AC</i>, проходит через середину <i>BD</i>.
Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2.
Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.
B равнобедренном треугольнике <i>ABС</i> на боковой стороне <i>BС</i> отмечена точка <i>M</i> так, что отрезок <i>MС</i> равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне <i>AB</i> отмечена точка <i>K</i> так, что угол <i>KMС</i> – прямой. Hайдите угол <i>ACK</i>.
Биссектриса угла <i>B</i> и биссектриса внешнего угла <i>D</i> прямоугольника <i>ABCD</i> пересекают сторону <i>AD</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>K</i> соответственно.
Докажите, что отрезок <i>MK</i> равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.