Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
Задача
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Hа продолжениях катетов AB и AC за вершины B и C отложили равные отрезки BK и CL. E и F – точки пересечения отрезка KL и прямых, перпендикулярных KC и проходящих через точки B и A соответственно. БикЮ Докажите, что EF = FL.
Решение
Решение 1: Достроим равнобедренный прямоугольный треугольник AKL до квадрата AKDL (рис. слева). Пусть S и N точки пересечения прямых BE и AF с отрезком DL. Tогда прямоугольные треугольники ALN и AKC равны по катету и прилежащему острому углу. Значит, LN = AC = AB. Четырёхугольник ABSN – параллелограмм, следовательно, SN = AB = LN. Поскольку прямые BS и AN параллельны, то по теореме Фалеса EF = FL.
Решение 2: Проведём через точку L прямую, перпендикулярную KC. Пусть P – точка пересечения этой прямой и прямой AB (рис. справа). Tогда
∠AKC = ∠FAC = ∠ALP и AL = AK, следовательно, прямоугольные треугольники ALP и AKC равны по катету и прилежащему острому углу. Значит,
AP = AC = AB. Поскольку прямые BE, AF и PL параллельны, то по теореме Фалеса EF = FL.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь