Олимпиадная задача по планиметрии про параллелограмм и биссектрисы для 8-9 класса

Решение 1:   Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. слева. Так как CQ – биссектриса угла C, то  ∠YCQ = ∠DCQ = ∠YQC.  Cледовательно,  YQ = YC = XD.  Аналогично  XP = XA = YB.  Кроме того  ∠BYQ = ∠DXQ  в силу параллельности прямых BC и AD. Поэтому треугольники BYQ и PXD равны, откуда  ∠ADP = ∠BQY = ∠ABQ.

  Другие случаи рассматриваются аналогично.

               

Решение 2:   Пусть A₁ и C₁ – точки пересечения биссектрис углов A и C с прямыми CD и AB соответственно (рис. справа). Тогда

∠AA₁D = ∠A₁AD = ∠CC₁B = ∠C₁CB,  кроме того,  AD = BC,  поэтому равнобедренные треугольники ADA₁ и CBC₁ равны. Заметим, что APQC₁ – параллелограмм, поэтому  AP = C₁Q.  Следовательно, треугольники APD и C₁QB равны по двум сторонам  (AD = C₁B,  AP = C₁Q)  и углу между ними, откуда  ∠ADP = ∠ABQ.

Ответ задачи отсутствует