Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 2-9 класса - сложность 2 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.

а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны <i>a</i>и <i>b</i>, то его длина не меньше (<i>a</i>+<i>b</i>)/$\sqrt{2}$. б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что его периметр не меньше $\sqrt{2}$(<i>a</i>+<i>b</i>).

Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.

Выпуклый многоугольник, площадь которого больше 0, 5, помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри многоугольника можно поместить отрезок длины 0, 5, параллельный стороне квадрата.

Площади треугольников <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равны <i>S</i>и <i>S</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>не тупоугольный. Наибольшее из отношений <i>a</i>₁/<i>a</i>,<i>b</i>₁/<i>b</i>и <i>c</i>₁/<i>c</i>равно <i>k</i>. Докажите, что <i>S</i>₁$\leq$<i>k</i>²<i>S</i>.

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что <i>a</i>/$\alpha$+<i>b</i>/$\beta$+<i>c</i>/$\gamma$$\geq$3/2.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57344/problem_57344_img_6.gif" border="1"></div>

<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник площади <i>S</i>. Угол между прямыми <i>AB</i>и <i>CD</i>равен <i>a</i>, угол между <i>AD</i>и <i>BC</i>равен $\beta$. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>AB</i>^.<i>CD</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>AD</i>^.<i>BC</i> sin$\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2<i>S</i> $\displaystyle \leq$ <i>AB</i>^.<i>CD</i> + <i>AD</i>^.<i>BC</i>. </div>

Площади треугольников<i>ABC</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂равны <i>S</i>,<i>S</i>₁,<i>S</i>₂соответственно, причем <i>AB</i>=<i>A</i>₁<i>B</i>₁+<i>A</i>₂<i>B</i>₂,<i>AC</i>=<i>A</i>₁<i>C</i>₁+<i>A</i><sub>2</sub&...

Точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>, причем <i>AM</i>=<i>CN</i>и <i>AN</i>=<i>BM</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>BMNC</i>по крайней мере в три раза больше площади треугольника <i>AMN</i>.

Периметр выпуклого четырехугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.

Пусть <i>E</i>,<i>F</i>,<i>G</i>и <i>H</i> — середины сторон <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABCD$\leq$<i>EG</i>^.<i>HF</i>$\le$(<i>AB</i>+<i>CD</i>)(<i>AD</i>+<i>BC</i>)/4.

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством <i>a</i>²+<i>b</i>²> 5<i>c</i>², то <i>c</i> — длина наименьшей стороны.

Пусть <i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник, причем <i>AB</i>+<i>BD</i>$\leq$<i>AC</i>+<i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i><<i>AC</i>.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>(<i>b</i> - <i>c</i>)² + <i>b</i>(<i>c</i> - <i>a</i>)² + <i>c</i>(<i>a</i> - <i>b</i>)² + 4<i>abc</i> > <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³. </div>

При любом натуральном <i>n</i>из чисел <i>a</i>ⁿ,<i>b</i>ⁿи <i>c</i>ⁿможно составить треугольник. Докажите, что среди чисел <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>есть два равных.

Даны <i>n</i>точек <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nи окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку <i>M</i>так, что <i>MA</i>₁+ ... +<i>MA</i>_n$\geq$<i>n</i>.

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

Пусть <i>ABCD</i> – выпуклый четырехугольник. Докажите, что  <i>AB</i> + <i>CD</i> < <i>AC</i> + <i>BD</i>.

Докажите, что любая диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.