Задача
Даны nточек A1,...,Anи окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку Mтак, что MA1+ ... +MAn$\geq$n.
Решение
Пусть M1и M2 — диаметрально противоположные точки окружности. Тогда M1Ak+M2Ak$\geq$M1M2= 2. Складывая эти неравенства для k= 1,...,n, получаем (M1A1+ ... +M1An) + (M2A1+ ... +M2An)$\geq$2n. Поэтому либо M1A1+ ... +M1An$\geq$n, и тогда положим M=M1, либо M2A1+ ... +M2An$\geq$n, и тогда положим M=M2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет