Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» - сложность 2-4 с решениями

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка <i>O</i>равноудалена от вершин этого многоугольника.

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины? Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Для каких <i>n</i>существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа?

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Около окружности описан <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_n; <i>l</i> — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины <i>n</i>-угольника. Пусть <i>a</i>_i — расстояние от вершины <i>A</i>_iдо прямой <i>l</i>, <i>b</i>_i — расстояние от точки касания стороны <i>A</i>_i<i>A</i>_{i + 1}с окружностью до прямой <i>l</i>. Докажите, что: а) величина <i>b</i>₁...<i>b</i>_n/(<i>a</i><sub>1</su...

Окружность радиуса <i>r</i>касается сторон многоугольника в точках <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n, причем длина стороны, на которой лежит точка <i>A</i>_i, равна <i>a</i>_i. Точка <i>X</i>удалена от центра окружности на расстояние <i>d</i>. Докажите, что<i>a</i>₁<i>XA</i>₁²+ ... +<i>a</i>_n<i>XA</i>_n²=<i>P</i>(<i>r</i>²+<i>d</i>²), где <i>P</i> — перим...

В 2<i>n</i>-угольнике (<i>n</i>нечетно) <i>A</i>₁...<i>A</i>_2n, описанном около окружности с центром <i>O</i>, диагонали<i>A</i>₁<i>A</i>_{n + 1},<i>A</i>₂<i>A</i>_{n + 2},...,<i>A</i>_{n - 1}<i>A</i>_{2n - 1}проходят через точку <i>O</i>. Докажите, что и диагональ <i>A</i>_n<i>A</i>_2nпроходит через точку <i>O</i>.

Точка, лежащая внутри описанного <i>n</i>-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

Два <i>n</i>-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.

В окружность вписан 2<i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Пусть <i>p</i>₁,...,<i>p</i>_2n — расстояния от произвольной точки <i>M</i>окружности до сторон <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₂<i>A</i>₃,...,<i>A</i>_2n<i>A</i>₁. Докажите, что <i>p</i>₁<i>p</i>₃...<i>p</i>_{2n - 1}=<i>p</i>₂<i&...

На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

Докажите, что если число <i>n</i> не является степенью простого числа, то существует выпуклый <i>n</i>-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., <i>n</i>, все углы которого равны.

а) Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i> вписан в окружность радиуса 1 с центром <i>O</i>;  <i><b>e</b>_i</i> = <img width="34" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57088/problem_57088_img_2.gif">,  <i><b>u</b></i> – произвольный вектор.

Докажите, что   <img width="21" height="31" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57088/problem_57088_img_3.gif">(<i><b>u</b>, <b>e</b>_i</i>)<i><b>e</b&g...

Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i>;  <i>X</i> – точка этой окружности. Докажите, что  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57087/problem_57087_img_2.gif">

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного <i>n</i>-угольника на любую прямую равна  ½ <i>na</i>²,  где <i>a</i> – сторона <i>n</i>-угольника.

Расстояние от точки <i>X</i> до центра правильного <i>n</i>-угольника равно <i>d</i>, <i>r</i> – радиус вписанной окружности <i>n</i>-угольника.

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки <i>X</i> до прямых, содержащих стороны <i>n</i>-угольника, равна  <i>n</i>(<i>r</i>² + ½ <i>d</i>²).

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного <i>n</i>-угольника, вписанного в окружность радиуса <i>R</i>, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_<i>n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O,   <b>e</b>_i</i> = <img width="34" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57083/problem_57083_img_2.gif">,  <i><b>x</b></i> = <img width="31" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/57083/problem_57083_img_3.gif">  – произвольный вектор.

Докажите, что   Σ (<i><b>e</b>_i, <b>x</b></i>)² =...

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки <i>X</i> до вершин правильного <i>n</i>-угольника будет наименьшей, если <i>X</i> – центр <i>n</i>-угольника.

Правильный многоугольник  <i>A</i>₁...<i>A</i>_<i>n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>, <i>X</i> — произвольная точка.

Докажите, что   <i>A</i>₁<i>X</i>² + ... + <i>A</i>_<i>n</i><i>X</i>² = <i>n</i>(<i>R</i>² + <i>d</i>²),  где  <i>d = OX</i>.