Пусть e₀, ..., e_n–1  – векторы сторон правильного n-угольника. Достаточно доказать, что, переупорядочив эти векторы, можно получить такой набор векторов  {a₁, ..., a_n},  что  ka_k = 0.

  Число n по условию можно представить в виде  n = pq,  где p и q взаимно просты. Докажем, что набор

{e₀, e_p, ..., e_(q–1)p; e_q, e_q+p, ..., e_q+(q–1)p, ...; e_(p–1)q+p, ..., e_{(p–1)q+(q–1)p}},  где все номера берутся по модулю n, – искомый.

  Заметим сначала, что если  xq + yp ≡ x'q + y'p (mod pq),  то  x ≡ x' (mod p)  и  y ≡ y' (mod q),  поэтому в рассматриваемом наборе каждый из векторов  e₀, ..., e_n–1  встречается ровно один раз.

  Концы векторов  e_q, e_q+p, ..., e_q+(q–1)p  с общим началом образуют правильный q-угольник, поэтому их сумма равна нулю. Кроме того, векторы  e₀, e_p, ..., e_(q–1)p  переходят в  e_q, e_q+p, ..., e_q+(q–1)p,  при повороте на угол  φ = ^2π/_p.  Поэтому если  e₀ + 2e_p + ... + qe_(q–1)p = b,  то

(q + 1)e_q + (q + 2)e_q+n + ... + 2qe_q+(q–1)p = q(e_q + ... + e_q+(q–1)p) + e_q + 2e_q+p + ... + qe_q+(q–1)p = R^φb,  где R^φb – вектор, полученный из вектора b поворотом на угол φ.

  Аналогичные рассуждения показывают, что для рассматриваемого набора векторов  ka_k = b + R^φb + ... + R^(p–-1)φb = 0.

Ответ задачи отсутствует