Олимпиадные задачи из источника «глава 30. Проективные преобразования» - сложность 5 с решениями
глава 30. Проективные преобразования
НазадНа плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить ее центр.
Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам.
а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройте<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек, а вершины лежат на <i>n</i>данных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).
а) Даны прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>вне ее. Циркулем и линейкой постройте на <i>l</i>отрезок<i>XY</i>данной длины, который виден из <i>P</i>под данным углом $\alpha$. б) Даны две прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i><sub>1</sub>точку <i>X</i>и на прямой <i>l</i><sub>2</sub>точку <i>Y</i>так, что отрезок<i>XY</i>виден из точки <i>P</i>под данным углом $\alpha$, а из точки <i>Q</i> — под данным углом $\beta$.
Даны окружность <i>S</i>и две хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на<i>CD</i>отрезок а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>хорды<i>CD</i>.
Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.
Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на прямых <i>a</i>и <i>b</i>соответственно, а точка <i>P</i>не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через <i>P</i>прямую, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>соответственно таких, что длины отрезков<i>AX</i>и <i>BY</i>имеют а) данное отношение; б) данное произведение.
Даны две прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>и две точки <i>A</i>и <i>B</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i><sub>1</sub>такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на прямой <i>l</i><sub>2</sub>отрезок, а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>прямой <i>l</i><sub>2</sub>.
Даны окружность, прямая и точки <i>A</i>,<i>A'</i>,<i>B</i>,<i>B'</i>,<i>C</i>,<i>C'</i>,<i>M</i>, лежащие на этой прямой. Согласно задачам <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158409">30.1</a>и <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158411">30.3</a>существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>соответственно в <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Обозначим это преобразование через <i>P</i>. Постройте при помощи одной линейки а) точку<i>P</i>(<i>M</i>); б) неподвижные...
Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>,<i>F</i>лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>DE</i>,<i>BC</i>и <i>EF</i>,<i>CD</i>и <i>FA</i>лежат на одной прямой (Паскаль).
Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158452">30.44</a>).
Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158435">30.27</a>).
Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158441">30.34</a>).
На стороне<i>AB</i>четырехугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i><sub>1</sub>. Пусть <i>M</i><sub>2</sub> — проекция <i>M</i><sub>1</sub>на прямую<i>BC</i>из <i>D</i>,<i>M</i><sub>3</sub> — проекция <i>M</i><sub>2</sub>на<i>CD</i>из <i>A</i>,<i>M</i><sub>4</sub> — проекция <i>M</i><sub>3</sub>на<i>DA</i>из <i>B</i>,<i>M</i><sub>5</sub> — проекция <i>M</i><sub>4</sub>на<i>AB</i>из <i>C</i>и т. д. Докажите, что<i>M</i><sub>13</sub>=<i...
Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности,<i>SA</i>и <i>SD</i> — касательные к этой окружности,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно. Докажите, что точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>лежат на одной прямой.
Пусть<i>ABCDEF</i> — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).
Вневписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается стороны<i>BC</i>в точке <i>D</i>, а продолжений сторон<i>AB</i>и <i>AC</i> — в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Пусть <i>T</i> — точка пересечения прямых<i>BF</i>и <i>CE</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>D</i>и <i>T</i>лежат на одной прямой.
Даны окружность <i>S</i>, точка <i>P</i>, расположенная вне <i>S</i>, и прямая <i>l</i>, проходящая через <i>P</i>и пересекающая окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Точку пересечения касательных к окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>обозначим через <i>K</i>. а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через <i>P</i>и пересекающие<i>AK</i>и <i>BK</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от<i>AK</i>и <i>BK</i>касательных к <i>S</i>, проведенных из точек <i>M</i>и <i>N</i>, является некоторая пря...
Даны окружность <i>S</i>, прямая <i>l</i>, точка <i>M</i>, лежащая на <i>S</i>и не лежащая на <i>l</i>, и точка <i>O</i>, не лежащая на <i>S</i>. Рассмотрим преобразование <i>P</i>прямой <i>l</i>, являющееся композицией проектирования <i>l</i>на <i>S</i>из <i>M</i>,<i>S</i>на себя из <i>O</i>и <i>S</i>на <i>l</i>из <i>M</i>, т. е.<i>P</i>(<i>A</i>) — пересечение прямых <i>l</i>и <i>MC</i>, где <i>C</i> — отличная от <i>B</i>точка пересечения <i>S</i>с прямой<i>OB</i>, а <i>B</i> — от...
а) Через точку <i>P</i>проводятся всевозможные секущие окружности <i>S</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности <i>S</i>, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей. б) Через точку <i>P</i>проводятся всевозможные пары секущих<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых<i>AC</i>и <i>BD</i>.
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Докажите, что для любого нечетного<i>n</i>$\ge$3 на плоскости можно указать 2<i>n</i>различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2<i>n</i>точек.
Окружность пересекает прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>в точках<i>A</i><sub>1</sub>и<i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>B</i><sub>2</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>2</sub>. Пусть<i>l</i><sub>a</sub> — прямая, соединяющая точки пересечения прямых<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>2</sub>,<i>BB</i><sub>2</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>; прямые<i>l</i><sub>b</sub>и<i>l</i><sub>c</sub>определяются аналогично. Докажите, что прямые<i&g...
Даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Пусть <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AD</i>и <i>BC</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно;<i>K</i>и <i>L</i> — точки пересечения прямой<i>QR</i>с прямыми<i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно. Докажите, что (<i>QRKL</i>) = - 1 (<i>теорема о полном четырехстороннике</i>).