Задача
Даны четыре точки A,B,C,D. Пусть P,Q,R — точки пересечения прямыхABи CD,ADи BC,ACи BDсоответственно;Kи L — точки пересечения прямойQRс прямымиABи CDсоответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1 (теорема о полном четырехстороннике).
Решение
Сделаем проективное преобразование, исключительной прямой которого является прямаяPQ. Через A',B',... обозначим образы точек A,B,... ТогдаA'B'C'D' — параллелограмм,R' — точка пересечения его диагоналей,Q' — бесконечно удаленная точка прямойQ'R',K'и L' — точки, высекаемые сторонами параллелограмма на прямойQ'R'. Ясно, что точки K'и L'симметричны относительно точки R'. Следовательно,
(Q'R'K'L') = 
: 
= 1 : = - 1.
Остается заметить, что согласно задаче 30.2, б)(QRKL) = (Q'R'K'L').
: = 1 : = - 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет