Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение»

а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройте<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек, а вершины лежат на <i>n</i>данных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).

а) Даны прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>вне ее. Циркулем и линейкой постройте на <i>l</i>отрезок<i>XY</i>данной длины, который виден из <i>P</i>под данным углом $\alpha$. б) Даны две прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i>₁точку <i>X</i>и на прямой <i>l</i>₂точку <i>Y</i>так, что отрезок<i>XY</i>виден из точки <i>P</i>под данным углом $\alpha$, а из точки <i>Q</i> — под данным углом $\beta$.

Даны окружность <i>S</i>и две хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на<i>CD</i>отрезок а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>хорды<i>CD</i>.

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на прямых <i>a</i>и <i>b</i>соответственно, а точка <i>P</i>не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через <i>P</i>прямую, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>соответственно таких, что длины отрезков<i>AX</i>и <i>BY</i>имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

Даны две прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂и две точки <i>A</i>и <i>B</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i>₁такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на прямой <i>l</i>₂отрезок, а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>прямой <i>l</i>₂.

Даны окружность, прямая и точки <i>A</i>,<i>A'</i>,<i>B</i>,<i>B'</i>,<i>C</i>,<i>C'</i>,<i>M</i>, лежащие на этой прямой. Согласно задачам <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158409">30.1</a>и <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158411">30.3</a>существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>соответственно в <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Обозначим это преобразование через <i>P</i>. Постройте при помощи одной линейки а) точку<i>P</i>(<i>M</i>); б) неподвижные...