Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность»

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности,<i>SA</i>и <i>SD</i> — касательные к этой окружности,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно. Докажите, что точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>лежат на одной прямой.

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Пусть<i>ABCDEF</i> — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).

Вневписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается стороны<i>BC</i>в точке <i>D</i>, а продолжений сторон<i>AB</i>и <i>AC</i> — в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Пусть <i>T</i> — точка пересечения прямых<i>BF</i>и <i>CE</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>D</i>и <i>T</i>лежат на одной прямой.

Даны окружность <i>S</i>, точка <i>P</i>, расположенная вне <i>S</i>, и прямая <i>l</i>, проходящая через <i>P</i>и пересекающая окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Точку пересечения касательных к окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>обозначим через <i>K</i>. а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через <i>P</i>и пересекающие<i>AK</i>и <i>BK</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от<i>AK</i>и <i>BK</i>касательных к <i>S</i>, проведенных из точек <i>M</i>и <i>N</i>, является некоторая пря...

Даны окружность <i>S</i>, прямая <i>l</i>, точка <i>M</i>, лежащая на <i>S</i>и не лежащая на <i>l</i>, и точка <i>O</i>, не лежащая на <i>S</i>. Рассмотрим преобразование <i>P</i>прямой <i>l</i>, являющееся композицией проектирования <i>l</i>на <i>S</i>из <i>M</i>,<i>S</i>на себя из <i>O</i>и <i>S</i>на <i>l</i>из <i>M</i>, т. е.<i>P</i>(<i>A</i>) — пересечение прямых <i>l</i>и <i>MC</i>, где <i>C</i> — отличная от <i>B</i>точка пересечения <i>S</i>с прямой<i>OB</i>, а <i>B</i> — от...

а) Через точку <i>P</i>проводятся всевозможные секущие окружности <i>S</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности <i>S</i>, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей. б) Через точку <i>P</i>проводятся всевозможные пары секущих<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых<i>AC</i>и <i>BD</i>.

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>