Задача
а) Через точку Pпроводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей. б) Через точку Pпроводятся всевозможные пары секущихABи CDокружности S(A,B,C,D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямыхACи BD.
Решение
Рассмотрим отдельно два случая.
- Точка Pлежит вне S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность Sперейдет в окружность, а точка P — в бесконечно удаленную точку (см. задачу 30.17), т. е. образы всех прямых, проходящих через P, будут друг другу параллельны. Тогда в задаче б) образом искомого ГМТ является прямая l — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче а) — прямая l, из которой выкинут диаметр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой l.) Следовательно, само искомое ГМТ для задачи б) есть прямая, проходящая через точки касания Sс касательными, проведенными через точку P, а для задачи б) — лежащая вне Sчасть этой прямой.
- Точка Pлежит внутри S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность Sперейдет в окружность, а точка P — в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая. Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки Pотносительно S(см. задачу 30.19).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет