Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Переведем данную прямую на бесконечность»

Докажите, что для любого нечетного<i>n</i>$\ge$3 на плоскости можно указать 2<i>n</i>различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2<i>n</i>точек.

Окружность пересекает прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>в точках<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂. Пусть<i>l</i>_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₂,<i>BB</i>₂и<i>CC</i>₁; прямые<i>l</i>_bи<i>l</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что прямые<i&g...

Даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Пусть <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AD</i>и <i>BC</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно;<i>K</i>и <i>L</i> — точки пересечения прямой<i>QR</i>с прямыми<i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно. Докажите, что (<i>QRKL</i>) = - 1 (<i>теорема о полном четырехстороннике</i>).

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая <i>l</i>. Обозначим через <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁середины отрезков, высекаемых на прямой <i>l</i>углами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, а через <i>A</i>₂,<i>B</i>₂,<i>C</i>₂ — точки пересечения прямых<i>AA</i>₁и <i>BC</i>,<i>BB</i>₁и <i>AC</i>,<i>CC</i>₁и <i>AB</i>. Докажите, что точки <i>A</i>₂,<i&gt...

Даны четырехугольник<i>ABCD</i>и прямая <i>l</i>. Обозначим через <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>,<i>BC</i>и <i>AD</i>, а через <i>P</i>₁,<i>Q</i>₁,<i>R</i>₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой <i>l</i>. Докажите, что прямые<i>PP</i>₁,<i>QQ</i>₁и <i>RR</i>₁пересекаются в одной точке.

Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Известно, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>, прямые<i>AA</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CB</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>₁и прямые<i>AC</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CA</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i><su...

Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Известно, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>, и прямые<i>AB</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CA</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>₁. Докажите, что прямые<i>AC</i>₁,<i>BA</i>₁и <i>CB</i>₁тоже пересекаются в одной точке <i...

Дан выпуклый четырехугольник<i>ABCD</i>. Пусть <i>P</i>,<i>Q</i> — точки пересечения продолжений противоположных сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AD</i>и <i>BC</i>соответственно,<i>R</i> — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть <i>K</i> — точка пересечения прямых<i>BC</i>и <i>PR</i>,<i>L</i> — точка пересечения прямых<i>AB</i>и <i>QR</i>,<i>M</i> — точка пересечения прямых<i>AK</i>и <i>DR</i>. Докажите, что точки <i>L</i>,<i>M</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>лежат на прямой <i>l</i>, а точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁ — на прямой <i>l</i>₁. Докажите, что точки пересечения прямых<i>AB</i>₁и <i>BA</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CB</i>₁,<i>CA</i>₁и <i>AC</i>₁лежат на одной прямой (Папп).

Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей четырехугольника<i>ABCD</i>, а <i>E</i>,<i>F</i> — точки пересечения продолжений сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>BC</i>и <i>AD</i>соответственно. Прямая<i>EO</i>пересекает стороны<i>AD</i>и <i>BC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>, а прямая<i>FO</i>пересекает стороны<i>AB</i>и <i>CD</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точка <i>X</i>пересечения прямых<i>KN</i>и <i>LM</i>лежит на прямой<i>EF</i>.

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников<i>ABCD</i>, у которых стороны<i>AB</i>и <i>CD</i>лежат на двух данных прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂, а стороны<i>BC</i>и <i>AD</i>пересекаются в данной точке <i>P</i>, является прямой, проходящей через точку <i>Q</i>пересечения прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂.

Прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁,<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>AC</i>и <i>A</i>₁<i>C</i>₁лежат на одной прямой (Дезарг).