Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Разные задачи»

Две окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке <i>M</i>₁, а вторую в точке <i>M</i>₂. Докажите, что $\angle$<i>BO</i>₁<i>M</i>₁=$\angle$<i>BO</i>₂<i>M</i>₂.

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна всем трем окружностям.

Две окружности имеют радиусы <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, а расстояние между их центрами равно <i>d</i>. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда <i>d</i>²=<i>R</i>₁²+<i>R</i>₂².