Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 10 класса
глава 3. Окружности
НазадДокажите, что диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>описанного шестиугольника <i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).
На плоскости даны две неконцентрические окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно <i>S</i><sub>1</sub>равна степени относительно <i>S</i><sub>2</sub>, является прямая.
Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть<i>r</i><sub>a</sub>,<i>r</i><sub>b</sub>,<i>r</i><sub>c</sub>,<i>r</i><sub>d</sub>— радиусы вписанных окружностей треугольников<i>BCD</i>,<i>ACD</i>,<i>ABD</i>,<i>ABC</i>. Докажите, что<i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>c</sub>=<i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>d</sub>.
На стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>D</i>. Окружность<i>S</i><sub>1</sub>касается отрезков<i>BE</i>и<i>EA</i>и описанной окружности, окружность<i>S</i><sub>2</sub>касается отрезков<i>CE</i>и<i>EA</i>и описанной окружности. Пусть<i>I</i>,<i>I</i><sub>1</sub>,<i>I</i><sub>2</sub>и<i>r</i>,<i>r</i><sub>1</sub>,<i>r</i><sub>2</sub>-- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>;$\varphi$=$\angle$<i>ADB</i>. Докажите, что...
Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.