Задача
На сторонах BCи ACтреугольника ABCвзяты точки A1и B1; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA1и BB1. Докажите, что: а) прямая lпроходит через точку Hпересечения высот треугольника ABC; б) прямая lтогда и только тогда проходит через точку C, когда AB1:AC=BA1:BC.
Решение
а) Пусть SAи SB — окружности с диаметрами AA1и BB1; S — окружность с диаметром AB. Общими хордами окружностей Sи SA, Sи SBявляются высоты AHaи BHb, поэтому они (или их продолжения) пересекаются в точке H. Согласно задаче 3.56общая хорда окружностей SAи SBпроходит через точку пересечения хорд AHaи BHb. б) Общая хорда окружностей SAи SBпроходит через точку пересечения прямых A1Haи B1Hb(т. е. через точку C) тогда и только тогда, когда CB1 . CHb=CA1 . CHa(длины отрезков следует считать ориентированными). Так как CHb= (a2+b2-c2)/2bи CHa= (a2+b2-c2)/2a, приходим к соотношению CB1/b=CA1/a.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь