Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Пучки окружностей»
параграф 11. Пучки окружностей
НазадДокажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.
Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональным окружностям данного пучка, образует пучок.
Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.
Докажите, что гиперболический пучок содержит две предельные точки, параболический — одну, а эллиптический — ни одной.
Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (<i>эллиптический пучок</i>), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (<i>параболический пучок</i>), либо не пересекает радикальную ось (<i>гиперболический пучок</i>).
Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i><sup>2</sup>+<i>y</i><sup>2</sup>+<i>a</i><sub>1</sub><i>x</i>+<i>b</i><sub>1</sub><i>y</i>+<i>c</i><sub>1</sub>и<i>g</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i><sup>2</sup>+<i>y</i><sup>2</sup>+<i>a</i><sub>2</sub><i>x</i>+<i>b</i><sub>2</sub><i>y</i>+<i>c</i><sub>2</sub>. Докажите, что для любого вещественного$\lambda$$\ne$1 уравнение<i>f</i>-$\lambda$<i>g</i>= 0 задаёт окружность...
а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей. б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.