Задача
а) Окружности S1и S2пересекаются в точках Aи B. Степень точки Pокружности S1относительно окружности S2равна p, расстояние от точки Pдо прямой ABравно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что |p| = 2dh. б) Степени точек Aи Bотносительно описанных окружностей треугольников BCDи ACDравны paи pb. Докажите, что |pa|SBCD= |pb|SACD.
Решение
а) Рассмотрим систему координат с началом Oв середине отрезка, соединяющего центры окружностей, а ось Oxнаправим вдоль этого отрезка. Пусть точка Pимеет координаты (x,y); Rи r — радиусы окружностей S1и S2; a=d/2. Тогда (x+a)2+y2=R2и p= (x-a)2+y2-r2= ((x+a)2+y2-R2) - 4ax-r2+R2=R2-r2- 4ax. Пусть точка Aимеет координаты (x0,y0). Тогда (x0+a)2+y02-R2= (x0-a)2+y02-r2, т. е. x0= (R2-r2)/4a. Поэтому 2dh= 4a|x0-x| = |R2-r2- 4ax| = |p|. б) Пусть d — расстояние между центрами описанных окружностей треугольников ACDи BCD; haи hb — расстояния от точек Aи Bдо прямой CD. Согласно задаче а) |pa| = 2dhaи |pb| = 2dhb. Учитывая, что SBCD=hbCD/2 и SACD=haCD/2, получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь