Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» - сложность 1 с решениями

Две окружности имеют радиусы <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, а расстояние между их центрами равно <i>d</i>. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда <i>d</i>²=<i>R</i>₁²+<i>R</i>₂².

Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что если из точки <i>M</i>отрезок <i>AO</i>виден под углом 90^<tt>o</tt>, то отрезки <i>OB</i>и <i>OC</i>видны из нее под равными углами.

Две окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂касаются в точке <i>A</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i>₁в точке <i>A</i>₁и <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₂. Докажите, что <i>O</i>₁<i>A</i>₁||<i>O</i>₂<i>A</i>₂.

Две окружности касаются в точке <i>A</i>. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках <i>C</i>и <i>B</i>. Докажите, что $\angle$<i>CAB</i>= 90^<tt>o</tt>.

Пусть <i>a</i>и <i>b</i> — длины катетов прямоугольного треугольника, <i>c</i> — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>)/2.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Точка <i>X</i>лежит на прямой <i>AB</i>, но не на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки <i>X</i>к окружностям, равны.

Докажите, что из точки <i>A</i>, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от <i>A</i>до точек касания) равны.