Задача
а) В треугольнике ABCпроведены высоты AA1,BB1и CC1. Прямые ABи A1B1, BCи B1C1, CAи C1A1пересекаются в точках C',A'и B'. Докажите, что точки A',B'и C'лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности. б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABCпересекают продолжения противоположных сторон в точках A',B'и C'. Докажите, что точки A',B'и C'лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Решение
а) Точки B1и C1лежат на окружности с диаметром BC, поэтому степени точки A'относительно описанных окружностей треугольников A1B1C1и ABCравны степени точки A'относительно этой окружности. Значит, точка A'лежит на радикальной оси окружности Эйлера и описанной окружности треугольника ABC. Для точек B'и C'доказательство аналогично. б) Рассмотрим треугольник A1B1C1, образованный внешними биссектрисами треугольника ABC(треугольник A1B1C1остроугольный). Согласно задаче а) точки A',B'и C'лежат на радикальной оси описанных окружностей треугольников ABCи A1B1C1. Радикальная ось этих окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры, т. е. прямой Эйлера треугольника A1B1C1. Остается заметить, что точка пересечения высот треугольника A1B1C1является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC(см. задачу 1.56, а)).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь