Задача
Продолжения сторон ABи CDчетырехугольника ABCDпересекаются в точке F, а продолжения сторон BCи AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC,BDи EFимеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников ABE,CDE,ADFи BCF.
Решение
Проведем в треугольнике CDEвысоты CC1и DD1; пусть H — точка их пересечения. Окружности с диаметрами ACи BDпроходят через точки C1и D1соответственно, поэтому степень точки Hотносительно каждой из этих окружностей равна ее степени относительно окружности с диаметром CD(эта окружность проходит через точки C1и D1). Аналогично доказывается, что степени точки Hотносительно окружностей с диаметрами AC,BDи EFравны, т. е. радикальные оси этих окружностей проходят через точку H. Для точек пересечения высот остальных трех треугольников доказательство проводится аналогично. Замечание. Центры рассматриваемых окружностей лежат на прямой Гаусса (см. задачу 4.55), поэтому их общая радикальная ось перпендикулярна прямой Гаусса.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь