Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 8 класса
глава 3. Окружности
НазадДокажите, что диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>описанного шестиугольника <i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).
На плоскости даны две неконцентрические окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно <i>S</i><sub>1</sub>равна степени относительно <i>S</i><sub>2</sub>, является прямая.
Две окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке <i>M</i><sub>1</sub>, а вторую в точке <i>M</i><sub>2</sub>. Докажите, что $\angle$<i>BO</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub>=$\angle$<i>BO</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>2</sub>.
Три окружности попарно касаются внешним образом в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна всем трем окружностям.
Две окружности имеют радиусы <i>R</i><sub>1</sub>и <i>R</i><sub>2</sub>, а расстояние между их центрами равно <i>d</i>. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда <i>d</i><sup>2</sup>=<i>R</i><sub>1</sub><sup>2</sup>+<i>R</i><sub>2</sub><sup>2</sup>.
Треугольники <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>вписаны в окружность <i>S</i>, причем хорды <i>AC</i><sub>2</sub>и <i>BC</i><sub>1</sub>пересекаются. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается хорды <i>AC</i><sub>2</sub>в точке <i>M</i><sub>2</sub>, хорды <i>BC</i><sub>1</sub>в точке <i>N</i><sub>1</sub>и окружности <i>S</i>. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>лежат на отрезке <i>M</i><sub>2</sub><i>N&l...
Окружность, касающаяся сторон <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка <i>MN</i>совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На диаметре<i>AB</i>окружности<i>S</i>взята точка<i>K</i>и из нее восставлен перпендикуляр, пересекающий<i>S</i>в точке<i>L</i>. Окружности<i>S</i><sub>A</sub>и<i>S</i><sub>B</sub>касаются окружности<i>S</i>, отрезка<i>LK</i>и диаметра<i>AB</i>, а именно,<i>S</i><sub>A</sub>касается отрезка<i>AK</i>в точке<i>A</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>B</sub>касается отрезка<i>BK</i>в точке<i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что$\angle$<i>A</i><sub>1</sub><i>LB</i><sub>1</sub>= 45<sup><tt>...
Две окружности, вписанные в сегмент <i>AB</i> данной окружности, пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> проходит через середину <i>C</i> дополнительной дуги данного сегмента <i>AB</i>.
Из точки <i>D</i>окружности <i>S</i>опущен перпендикуляр <i>DC</i>на диаметр <i>AB</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается отрезка <i>CA</i>в точке <i>E</i>, а также отрезка <i>CD</i>и окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>DE</i> — биссектриса треугольника <i>ADC</i>.
Хорда <i>AB</i>разбивает окружность <i>S</i>на две дуги. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается хорды <i>AB</i>в точке <i>M</i>и одной из дуг в точке <i>N</i>. Докажите, что: а) прямая <i>MN</i>проходит через середину <i>P</i>второй дуги; б) длина касательной <i>PQ</i>к окружности <i>S</i><sub>1</sub>равна <i>PA</i>.
Пусть <i>O</i><sub>a</sub>,<i>O</i><sub>b</sub>и <i>O</i><sub>c</sub> — центры описанных окружностей треугольников <i>PBC</i>,<i>PCA</i>и <i>PAB</i>. Докажите, что если точки <i>O</i><sub>a</sub>и <i>O</i><sub>b</sub>лежат на прямых <i>PA</i>и <i>PB</i>, то точка <i>O</i><sub>c</sub>лежит на прямой <i>PC</i>.
Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>, не лежащая на прямой <i>AB</i>. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпендикуляр из точки <i>C</i>на <i>AB</i>, если: а) точка <i>C</i>не лежит на окружности; б) точка <i>C</i>лежит на окружности.
Прямые <i>PC</i>и <i>PD</i>касаются окружности с диаметром <i>AB</i>(<i>C</i>и <i>D</i> — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая <i>P</i>с точкой пересечения прямых <i>AC</i>и <i>BD</i>, перпендикулярна <i>AB</i>.
Точки <i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с диаметром <i>AB</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>, <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AB</i>$\perp$<i>PQ</i>.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем центр <i>O</i>окружности <i>S</i><sub>1</sub>лежит на <i>S</i><sub>2</sub>. Прямая, проходящая через точку <i>O</i>, пересекает отрезок <i>AB</i>в точке <i>P</i>, а окружность <i>S</i><sub>2</sub>в точке <i>C</i>. Докажите, что точка <i>P</i>лежит на поляре точки <i>C</i>относительно окружности <i>S</i><sub>1</sub>.
Даны окружность <i>S</i>и прямая <i>l</i>, не имеющие общих точек. Из точки <i>P</i>, движущейся по прямой <i>l</i>, проводятся касательные <i>PA</i>и <i>PB</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что все хорды <i>AB</i>имеют общую точку.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность, причем касательные в точках <i>B</i>и <i>D</i>пересекаются в точке <i>K</i>, лежащей на прямой <i>AC</i>. а) Докажите, что <i>AB</i><sup> . </sup><i>CD</i>=<i>BC</i><sup> . </sup><i>AD</i>. б) Прямая, параллельная <i>KB</i>, пересекает прямые <i>BA</i>,<i>BD</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. Докажите, что <i>PQ</i>=<i>QR</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках <i>D</i>и <i>E</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>BC</i>. Докажите, что <i>BM</i><sup>2</sup>=<i>DM</i><sup> . </sup><i>ME</i>и угол <i>DME</i>в два раза больше угла <i>DBE</i>или угла <i>DCE</i>; кроме того, $\angle$<i>BEM</i>=$\angle$<i>DEC</i>.
На продолжении хорды <i>KL</i>окружности с центром <i>O</i>взята точка <i>A</i>, и из нее проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>MKO</i>=$\angle$<i>MLO</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Через точку <i>X</i>отрезка <i>BC</i>проведена прямая <i>KL</i>, перпендикулярная <i>XO</i>(точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>). Докажите, что <i>KX</i>=<i>XL</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что если из точки <i>M</i>отрезок <i>AO</i>виден под углом 90<sup><tt>o</tt></sup>, то отрезки <i>OB</i>и <i>OC</i>видны из нее под равными углами.
Три окружности одного радиуса проходят через точку <i>P</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>Q</i> — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку <i>Q</i>и пересекается с двумя другими в точках <i>C</i>и <i>D</i>. При этом треугольники <i>ABQ</i>и <i>CDP</i>остроугольные, а четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый (рис.). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56683/problem_56683_img_2.gif" border="1"></div>
Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., <i>а</i>или <i>б</i>. Докажите, что $\smile$<i>AB</i><sub>1</sub>+$\smile$<i>BC</i><sub>1</sub>±$\smile$<i>CA</i><sub>1</sub>= 180<sup><tt>o</tt></sup>, где знак минус берется в случае <i>б</i>.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56682/problem_56682_img_3.gif" border="1"></div>
Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.