Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 3-10 класса - сложность 3 с решениями

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

а) На сторонах треугольника<i>ABC</i>построены собственно подобные треугольники<i>A</i>₁<i>BC</i>,<i>CAB</i>₁и<i>BC</i>₁<i>A</i>. Пусть<i>A</i>₂,<i>B</i>₂и<i>C</i>₂— соответственные точки этих треугольников. Докажите, что$\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>A</i>₁<i>BC</i>. б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах тре...

Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AB</i>в отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AA</i>₁в отрезок<i>BB</i>₁.

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.

Треугольники<i>MAB</i>и <i>MCD</i>подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть <i>O</i>₁ — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BM}$), переводящего <i>A</i>в <i>C</i>, а <i>O</i>₂ — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AM}$), переводящего <i>B</i>в <i>D</i>. Докажите, что<i>O</i>₁=<i>O</i>₂.

Поворотные гомотетии <i>P</i>₁и <i>P</i>₂с центрами <i>A</i>₁и <i>A</i>₂имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1. Докажите, что композиция<i>P</i>₂<tt>o</tt><i>P</i>₁является поворотом, причем его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего <i>A</i>₁в <i>A</i>₂и имеющего угол поворота2$\angle$($\overrightarrow{MA_1}$,$\overrightarrow{MN}$), где <i>M</i> — произвольная точка и <i>N</i>=<i>P</i>₁(<...

На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.

Треугольник<i>ABC</i>при поворотной гомотетии переходит в треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁;<i>O</i> — произвольная точка. Пусть <i>A</i>₂ — вершина параллелограмма<i>OAA</i>₁<i>A</i>₂; точки <i>B</i>₂и <i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что$\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

Середины сторон<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁правильных треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпадают (вершины обоих треугольников перечислены по часовой стрелке). Найдите величину угла между прямыми<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а также отношение длин отрезков<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены подобные треугольники:$\triangle$<i>A</i>₁<i>BC</i>$\sim$$\triangle$<i>B</i>₁<i>CA</i>$\sim$$\triangle$<i>C</i>₁<i>AB</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпадают.

Дан квадрат<i>ABCD</i>. Точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат соответственно на сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>, причем<i>BP</i>=<i>BQ</i>. Пусть <i>H</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>B</i>на отрезок<i>PC</i>. Докажите, что$\angle$<i>DHQ</i>= 90^<tt>o</tt>.

Даны две неконцентрические окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворота90^<tt>o</tt>, переводящие <i>S</i>₁в <i>S</i>₂.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, а хорды<i>AM</i>и <i>AN</i>касаются этих окружностей. Треугольник<i>MAN</i>достроен до параллелограмма<i>MANC</i>и отрезки<i>BN</i>и <i>MC</i>разделены точками <i>P</i>и <i>Q</i>в равных отношениях. Докажите, что$\angle$<i>APQ</i>=$\angle$<i>ANC</i>.

Окружности<i>S</i>₁,...,<i>S</i>_nпроходят через точку <i>O</i>. Кузнечик из точки <i>X</i>_iокружности <i>S</i>_iпрыгает в точку <i>X</i>_{i + 1}окружности <i>S</i>_{i + 1}так, что прямая<i>X</i>_i<i>X</i>_{i + 1}проходит через точку пересечения окружностей <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}, отличную от точки <i>O</i>. Докажите, что после <i>n</i>прыжков (с окружности <i>S</i>₁на <i>S</i&...

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.

Общие внешние касательные к парам окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃,<i>S</i>₃и <i>S</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по сторонам<i>AB</i>и <i>AC</i>и биссектрисе <i>AD</i>.

Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>D</i> — точка касания ее со стороной<i>AC</i>,<i>B</i>₁ — середина стороны<i>AC</i>. Докажите, что прямая<i>B</i>₁<i>O</i>делит отрезок<i>BD</i>пополам.

а) Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается стороны<i>AC</i>в точке <i>D</i>,<i>DM</i> — ее диаметр. Прямая<i>BM</i>пересекает сторону<i>AC</i>в точке <i>K</i>. Докажите, что<i>AK</i>=<i>DC</i>. б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры<i>AB</i>и <i>CD</i>. Из точки <i>M</i>, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую<i>AB</i>в точках <i>E</i>и <i>H</i>, а также прямые<i>MC</i>и <i>MD</i>, пересекающие прямую<i>AB</i>в точках <i>F</i>и <i>K</i>. Докажите, что<i>EF</i>=<i>KH</i...

Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n;<i>M</i>₁,...,<i>M</i>_n — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nсоответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>M</i>₁...<i>M</i>_nгомотетичны.

Пусть <i>R</i>и <i>r</i> — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Окружность <i>S</i>касается равных сторон<i>AB</i>и <i>BC</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках <i>P</i>и <i>K</i>, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что середина отрезка<i>PK</i>является центром вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>.

На окружности фиксированы точки <i>A</i> и <i>B</i>, а точка <i>C</i> движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников <i>ABC</i>.

Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.