Пусть O₁и O₂ — центры данных окружностей,r₁и r₂ — их радиусы. Коэффициент kповоротной гомотетии, переводящей S₁в S₂, равенr₁/r₂, а ее центр Oлежит на окружности с диаметромO₁O₂, и, кроме того,OO₁:OO₂=k=r₁/r₂. Остается проверить, что окружность с диаметромO₁O₂и ГМТ Oтаких, чтоOO₁:OO₂=k, имеют ровно две общие точки. Приk= 1 это очевидно, а приk$\ne$1 последнее ГМТ описано в решении задачи 7.14: оно является окружностью, причем одна из ее точек пересечения с прямойO₁O₂лежит внутри отрезкаO₁O₂, а другая — вне его.

Ответ задачи отсутствует