Задача
На сторонах треугольникаABCвнешним образом построены подобные треугольники:$\triangle$A1BC$\sim$$\triangle$B1CA$\sim$$\triangle$C1AB. Докажите, что точки пересечения медиан треугольниковABCи A1B1C1совпадают.
Решение
Пусть P — поворотная гомотетия, переводящая вектор$\overrightarrow{CB}$в вектор$\overrightarrow{CA_1}$. Тогда$\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{AC}$+P($\overrightarrow{CB}$) +$\overrightarrow{CB}$+P($\overrightarrow{BA}$) +$\overrightarrow{BA}$+P($\overrightarrow{AC}$) =$\overrightarrow{0}$. Значит, если M — центр масс треугольникаABC, то$\overrightarrow{MA_1}$+$\overrightarrow{MB_1}$+$\overrightarrow{MC_1}$= ($\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$) + ($\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$) =$\overrightarrow{0}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь