Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 1-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

а) На сторонах треугольника<i>ABC</i>построены собственно подобные треугольники<i>A</i>₁<i>BC</i>,<i>CAB</i>₁и<i>BC</i>₁<i>A</i>. Пусть<i>A</i>₂,<i>B</i>₂и<i>C</i>₂— соответственные точки этих треугольников. Докажите, что$\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>A</i>₁<i>BC</i>. б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах тре...

Пусть<i>H</i>₁и<i>H</i>₂— две поворотные гомотетии. Докажите, что<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂=<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁тогда и только тогда, когда<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂(<i>A</i>) =<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁(<i>A</i>) для некоторой точки<i>A</i>.

Пусть<i>H</i>₁и<i>H</i>₂— две поворотные гомотетии. Докажите, что<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂=<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁тогда и только тогда, когда центры этих поворотных гомотетий совпадают.

Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AB</i>в отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AA</i>₁в отрезок<i>BB</i>₁.

Постройте центр <i>O</i>поворотной гомотетии с данным коэффициентом<i>k</i>$\ne$1, переводящей прямую <i>l</i>₁в прямую <i>l</i>₂, а точку <i>A</i>₁лежащую на <i>l</i>₁, — в точку <i>A</i>₂.

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.

а) Пусть <i>P</i> — точка пересечения прямых<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что если среди точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>P</i>нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников<i>PAA</i>₁и <i>PBB</i>₁является центром поворотной гомотетии, переводящей точку <i>A</i>в <i>A</i>₁, а точку <i>B</i>в <i>B</i>₁, причем такая поворотная гомотетия единственна. б) Докажите, что центром поворотной го...

Треугольники<i>MAB</i>и <i>MCD</i>подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть <i>O</i>₁ — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BM}$), переводящего <i>A</i>в <i>C</i>, а <i>O</i>₂ — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AM}$), переводящего <i>B</i>в <i>D</i>. Докажите, что<i>O</i>₁=<i>O</i>₂.

Поворотные гомотетии <i>P</i>₁и <i>P</i>₂с центрами <i>A</i>₁и <i>A</i>₂имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1. Докажите, что композиция<i>P</i>₂<tt>o</tt><i>P</i>₁является поворотом, причем его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего <i>A</i>₁в <i>A</i>₂и имеющего угол поворота2$\angle$($\overrightarrow{MA_1}$,$\overrightarrow{MN}$), где <i>M</i> — произвольная точка и <i>N</i>=<i>P</i>₁(<...

На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.

Треугольник<i>ABC</i>при поворотной гомотетии переходит в треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁;<i>O</i> — произвольная точка. Пусть <i>A</i>₂ — вершина параллелограмма<i>OAA</i>₁<i>A</i>₂; точки <i>B</i>₂и <i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что$\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

Середины сторон<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁правильных треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпадают (вершины обоих треугольников перечислены по часовой стрелке). Найдите величину угла между прямыми<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а также отношение длин отрезков<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены подобные треугольники:$\triangle$<i>A</i>₁<i>BC</i>$\sim$$\triangle$<i>B</i>₁<i>CA</i>$\sim$$\triangle$<i>C</i>₁<i>AB</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпадают.

Дан квадрат<i>ABCD</i>. Точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат соответственно на сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>, причем<i>BP</i>=<i>BQ</i>. Пусть <i>H</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>B</i>на отрезок<i>PC</i>. Докажите, что$\angle$<i>DHQ</i>= 90^<tt>o</tt>.

Даны две неконцентрические окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворота90^<tt>o</tt>, переводящие <i>S</i>₁в <i>S</i>₂.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, а хорды<i>AM</i>и <i>AN</i>касаются этих окружностей. Треугольник<i>MAN</i>достроен до параллелограмма<i>MANC</i>и отрезки<i>BN</i>и <i>MC</i>разделены точками <i>P</i>и <i>Q</i>в равных отношениях. Докажите, что$\angle$<i>APQ</i>=$\angle$<i>ANC</i>.

Окружности<i>S</i>₁,...,<i>S</i>_nпроходят через точку <i>O</i>. Кузнечик из точки <i>X</i>_iокружности <i>S</i>_iпрыгает в точку <i>X</i>_{i + 1}окружности <i>S</i>_{i + 1}так, что прямая<i>X</i>_i<i>X</i>_{i + 1}проходит через точку пересечения окружностей <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}, отличную от точки <i>O</i>. Докажите, что после <i>n</i>прыжков (с окружности <i>S</i>₁на <i>S</i&...

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. При поворотной гомотетии <i>P</i>с центром <i>A</i>, переводящей <i>S</i>₁в <i>S</i>₂, точка <i>M</i>₁окружности <i>S</i>₁переходит в <i>M</i>₂. Докажите, что прямая<i>M</i>₁<i>M</i>₂проходит через точку <i>B</i>.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Прямые <i>p</i>и <i>q</i>, проходящие через точку <i>A</i>, пересекают окружность <i>S</i>₁в точках <i>P</i>₁и <i>Q</i>₁, а окружность <i>S</i>₂ — в точках <i>P</i>₂и <i>Q</i>₂. Докажите, что угол между прямыми<i>P</i>₁<i>Q</i>₁и <i>P</i>₂<i>Q</i><sub>2</sub&gt...

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.

Общие внешние касательные к парам окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃,<i>S</i>₃и <i>S</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.

Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами <i>k</i>₁и <i>k</i>₂, где<i>k</i>₁<i>k</i>₂$\ne$1, является гомотетией с коэффициентом<i>k</i>₁<i>k</i>₂, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай<i>k</i>₁<i>k</i>₂= 1.

Преобразование <i>f</i>обладает следующим свойством: если <i>A'</i>и <i>B'</i> — образы точек <i>A</i>и <i>B</i>, то<img width="38" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/58001/problem_58001_img_2.gif" alt="$ \overrightarrow{A'B'}$">=<i>k</i>$\overrightarrow{AB}$, где <i>k</i> — постоянное число. Докажите, что: а) если<i>k</i>= 1, то преобразование <i>f</i>является параллельным переносом; б) если<i>k</i>$\ne$1, то преобразование <i>f</i>является гомотетией.

Постройте на стороне<i>BC</i>данного треугольника<i>ABC</i>такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны<i>AB</i>и <i>AC</i>, параллельна <i>BC</i>.