Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» - сложность 3-4 с решениями

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников<i>APR</i>,<i>BPQ</i>и <i>CQR</i>образуют треугольник, подобный треугольнику<i>ABC</i>.

Пусть<i>AKL</i>и <i>AMN</i> — подобные равнобедренные треугольники с вершиной <i>A</i>и углом $\alpha$при вершине;<i>GNK</i>и <i>G'LM</i> — подобные равнобедренные треугольники с углом$\pi$-$\alpha$при вершине. Докажите, что<i>G</i>=<i>G'</i>. (Треугольники ориентированные.)

На сторонах произвольного треугольника<i>ABC</i>вне его построены равнобедренные треугольники<i>A'BC</i>,<i>AB'C</i>и <i>ABC'</i>с вершинами <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>и углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$при этих вершинах, причем$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 2$\pi$. Докажите, что углы треугольника<i>A'B'C'</i>равны$\alpha$/2,$\beta$/2,$\gamma$/2.

Постройте<i>n</i>-угольник, если известны <i>n</i>точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого<i>n</i>-угольника и имеющих при вершинах углы$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$.

Пусть углы $\alpha$,$\beta$,$\gamma$таковы, что0 <$\alpha$,$\beta$,$\gamma$<$\pi$и $\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$. Докажите, что если композиция поворотов<i>R</i>_C^{2$\scriptstyle \gamma$}<tt>o</tt><i>R</i>_B^{2$\scriptstyle \beta$}<tt>o</tt><i>R</i>_A^{2$\scriptstyle \alpha$}является тождественным преобразованием, то углы треугольника<i>ABC</i>равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>построены правильные треугольники<i>A'BC</i>и <i>B'AC</i>внешним образом,<i>C'AB</i> — внутренним,<i>M</i> — центр треугольника<i>C'AB</i>. Докажите, что<i>A'B'M</i> — равнобедренный треугольник, причем$\angle$<i>A'MB'</i>= 120^<tt>o</tt>.

а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом. в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.

Внутри выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>построены равнобедренные прямоугольные треугольники<i>ABO</i>₁,<i>BCO</i>₂,<i>CDO</i>₃и <i>DAO</i>₄. Докажите, что если<i>O</i>₁=<i>O</i>₃, то<i>O</i>₂=<i>O</i>₄.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены квадраты с центрами <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. На сторонах треугольника<i>PQR</i>внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника<i>ABC</i>.

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^<tt>o</tt>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^<tt>o</tt>.

Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁получен из треугольника<i>ABC</i>поворотом на угол $\alpha$($\alpha$< 180^<tt>o</tt>) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>CA</i>и <i>C</i>₁<i>A</i>₁(или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику<i>ABC</i>.

Для данного треугольника<i>ABC</i>, один из углов которого больше120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

По двум прямым, пересекающимся в точке <i>P</i>, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка <i>A</i>, по другой — точка <i>B</i>. Через точку <i>P</i>они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника<i>ABP</i>проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от <i>P</i>.

На плоскости лежат две одинаковые буквы $\Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим <i>A</i>и <i>A'</i>. Длинные палочки разбиты на <i>n</i>равных частей точками<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_{n - 1};<i>A</i>₁',...,<i>A</i>_{n - 1}' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые<i>AA</i>_iи <i>A'A</i>_i' пересекаются в точке <i>X</i>_i. Докажите, что точки<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_{n - 1}образуют выпуклый многоугольник....

а) Для данного треугольника<i>ABC</i>, все углы которого меньше 120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. б) Внутри треугольника<i>ABC</i>, все углы которого меньше 120^<tt>o</tt>, взята точка <i>O</i>, из которой его стороны видны под углом 120^<tt>o</tt>. Докажите, что сумма расстояний от точки <i>O</i>до вершин равна(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/2 + 2$\sqrt{3}$<i>S</i>.

Правильные треугольники<i>ABC</i>,<i>CDE</i>,<i>EHK</i>(вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник<i>BHD</i>тоже правильный.

На сторонах<i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>ABC'</i>и <i>AB'C</i>. Точка <i>M</i>делит сторону<i>BC</i>в отношении<i>BM</i>:<i>MC</i>= 3 : 1;<i>K</i>и <i>L</i> — середины сторон<i>AC'</i>и <i>B'C</i>. Докажите, что углы треугольника<i>KLM</i>равны 30^<tt>o</tt>,60^<tt>o</tt>и 90^<tt>o</tt>.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>ABC</i>₁,<i>AB</i>₁<i>C</i>и <i>A</i>₁<i>BC</i>. Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — середины отрезков<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что треугольник<i>APQ</i>правильный.

На сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>правильного треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что<i>MN</i>|<i>AC</i>,<i>E</i> — середина отрезка<i>AN</i>,<i>D</i> — центр треугольника<i>BMN</i>. Найдите величины углов треугольника<i>CDE</i>.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>CD</i>и <i>DE</i>правильного шестиугольника<i>ABCDEF</i>,<i>P</i> — точка пересечения отрезков<i>AM</i>и <i>BN</i>. а) Найдите величину угла между прямыми<i>AM</i>и <i>BN</i>. б) Докажите, что<i>S</i>_ABP=<i>S</i>_MDNP.

Шестиугольник<i>ABCDEF</i>правильный,<i>K</i>и <i>M</i> — середины отрезков<i>BD</i>и <i>EF</i>. Докажите, что треугольник<i>AMK</i>правильный.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри правильного треугольника<i>ABC</i>, для которых<i>MA</i>²=<i>MB</i>²+<i>MC</i>².

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Дан треугольник<i>ABC</i>. На его сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>построены внешним образом квадраты<i>ABMN</i>и <i>BCPQ</i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i>MQ</i>и <i>AC</i>образуют квадрат.