Задача
ТреугольникA1B1C1получен из треугольникаABCповоротом на угол $\alpha$($\alpha$< 180o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторонABи A1B1,BCи B1C1,CAи C1A1(или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольникуABC.
Решение
Пусть Aи B — точки окружности с центром O,A1и B1 — образы этих точек при повороте на угол $\alpha$относительно центра O;Pи P1 — середины отрезковABи A1B1;M — точка пересечения прямыхABи A1B1. Прямоугольные треугольникиPOMи P1OMимеют общую гипотенузу и равные катетыPO=P1O, поэтому эти треугольники равны и $\angle$MOP=$\angle$MOP1=$\alpha$/2. Точка Mполучается из точки Pповоротом на угол$\alpha$/2 и последующей гомотетией с коэффициентом1/cos($\alpha$/2) и центром O. Точки пересечения прямыхABи A1B1,ACи A1C1,BCи B1C1являются вершинами треугольника, гомотетичного с коэффициентом1/cos($\alpha$/2) треугольнику, образованному серединами сторон треугольникаABC. Ясно, что треугольник, образованный серединами сторон треугольникаABC, подобен треугольникуABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь