Задача
а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом. в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.
Решение
а) См. решение более общей задачи 18.42(достаточно положить$\alpha$=$\beta$=$\gamma$= 120o). В случае б) доказательство аналогично. в) Пусть Qи R(соответственно Q1и R1) — центры правильных треугольников, построенных внешним (соответственно внутренним) образом на сторонахACи AB. Так какAQ=b/$\sqrt{3}$,AR=c/$\sqrt{3}$и $\angle$QAR= 60o+$\alpha$, то3QR2=b2+c2- 2bccos($\alpha$+ 60o). Аналогично3Q1R12=b2+c2- 2bccos($\alpha$- 60o). Поэтому разность площадей полученных правильных треугольников равна(QR2-Q1R12)$\sqrt{3}$/4 =bcsin$\alpha$sin 60o/$\sqrt{3}$=SABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь