Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» - сложность 3 с решениями

Внутри выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>построены равнобедренные прямоугольные треугольники<i>ABO</i>₁,<i>BCO</i>₂,<i>CDO</i>₃и <i>DAO</i>₄. Докажите, что если<i>O</i>₁=<i>O</i>₃, то<i>O</i>₂=<i>O</i>₄.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены квадраты с центрами <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. На сторонах треугольника<i>PQR</i>внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника<i>ABC</i>.

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^<tt>o</tt>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^<tt>o</tt>.

Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁получен из треугольника<i>ABC</i>поворотом на угол $\alpha$($\alpha$< 180^<tt>o</tt>) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>CA</i>и <i>C</i>₁<i>A</i>₁(или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику<i>ABC</i>.

Для данного треугольника<i>ABC</i>, один из углов которого больше120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

По двум прямым, пересекающимся в точке <i>P</i>, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка <i>A</i>, по другой — точка <i>B</i>. Через точку <i>P</i>они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника<i>ABP</i>проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от <i>P</i>.

На плоскости лежат две одинаковые буквы $\Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим <i>A</i>и <i>A'</i>. Длинные палочки разбиты на <i>n</i>равных частей точками<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_{n - 1};<i>A</i>₁',...,<i>A</i>_{n - 1}' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые<i>AA</i>_iи <i>A'A</i>_i' пересекаются в точке <i>X</i>_i. Докажите, что точки<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_{n - 1}образуют выпуклый многоугольник....

а) Для данного треугольника<i>ABC</i>, все углы которого меньше 120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. б) Внутри треугольника<i>ABC</i>, все углы которого меньше 120^<tt>o</tt>, взята точка <i>O</i>, из которой его стороны видны под углом 120^<tt>o</tt>. Докажите, что сумма расстояний от точки <i>O</i>до вершин равна(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/2 + 2$\sqrt{3}$<i>S</i>.

Правильные треугольники<i>ABC</i>,<i>CDE</i>,<i>EHK</i>(вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник<i>BHD</i>тоже правильный.

На сторонах<i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>ABC'</i>и <i>AB'C</i>. Точка <i>M</i>делит сторону<i>BC</i>в отношении<i>BM</i>:<i>MC</i>= 3 : 1;<i>K</i>и <i>L</i> — середины сторон<i>AC'</i>и <i>B'C</i>. Докажите, что углы треугольника<i>KLM</i>равны 30^<tt>o</tt>,60^<tt>o</tt>и 90^<tt>o</tt>.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>ABC</i>₁,<i>AB</i>₁<i>C</i>и <i>A</i>₁<i>BC</i>. Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — середины отрезков<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что треугольник<i>APQ</i>правильный.

На сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>правильного треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что<i>MN</i>|<i>AC</i>,<i>E</i> — середина отрезка<i>AN</i>,<i>D</i> — центр треугольника<i>BMN</i>. Найдите величины углов треугольника<i>CDE</i>.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>CD</i>и <i>DE</i>правильного шестиугольника<i>ABCDEF</i>,<i>P</i> — точка пересечения отрезков<i>AM</i>и <i>BN</i>. а) Найдите величину угла между прямыми<i>AM</i>и <i>BN</i>. б) Докажите, что<i>S</i>_ABP=<i>S</i>_MDNP.

Шестиугольник<i>ABCDEF</i>правильный,<i>K</i>и <i>M</i> — середины отрезков<i>BD</i>и <i>EF</i>. Докажите, что треугольник<i>AMK</i>правильный.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри правильного треугольника<i>ABC</i>, для которых<i>MA</i>²=<i>MB</i>²+<i>MC</i>².

Дан треугольник<i>ABC</i>. На его сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>построены внешним образом квадраты<i>ABMN</i>и <i>BCPQ</i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i>MQ</i>и <i>AC</i>образуют квадрат.

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата:<i>ABCD</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>CD</i>₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины <i>A</i>и <i>C</i>. Докажите, что медиана<i>BM</i>треугольника<i>BB</i>₁<i>B</i>₂перпендикулярна отрезку<i>D</i>₁<i>D</i>₂.

Два квадрата<i>BCDA</i>и <i>BKMN</i>имеют общую вершину <i>B</i>. Докажите, что медиана<i>BE</i>треугольника<i>ABK</i>и высота<i>BF</i>треугольника<i>CBN</i>лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

В треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>CM</i>и высота<i>CH</i>. Прямые, проведенные через произвольную точку <i>P</i>плоскости перпендикулярно<i>CA</i>,<i>CM</i>и <i>CB</i>, пересекают прямую<i>CH</i>в точках <i>A</i>₁,<i>M</i>₁и <i>B</i>₁. Докажите, что<i>A</i>₁<i>M</i>₁=<i>B</i>₁<i>M</i>₁.

На сторонах<i>BC</i>и <i>CD</i>квадрата<i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>K</i>соответственно, причем$\angle$<i>BAM</i>=$\angle$<i>MAK</i>. Докажите, что<i>BM</i>+<i>KD</i>=<i>AK</i>.

Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i>₁ опущен перпендикуляр на <i>A</i>₂<i>P</i>, из <i>A</i>₂ — перпендикуляр на <i>A</i>₃<i>P</i>, из <i>A</i>₃ — на <i>A</i>₄<i>P</i>, из <i>A</i>₄ — на <i>A</i>₁<i>P</i>. Докажите...