Олимпиадные задачи по математике
<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...
Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i><sub>1</sub> опущен перпендикуляр на <i>A</i><sub>2</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>2</sub> — перпендикуляр на <i>A</i><sub>3</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>3</sub> — на <i>A</i><sub>4</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>4</sub> — на <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>. Докажите...