Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 9-10 класса - сложность 2 с решениями

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  <i>a</i>₀<i>xⁿ</i> + <i>a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i> + <i>a_n</i>,  принимающий при  <i>x</i> = 0  и  <i>x</i> = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что  2^<i>b</i> – 1  делится на <i>a</i>.

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Обозначим через<i>S</i>сумму следующего ряда:<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} S=1-1+1-1+1-\ldots \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>S</i> = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (12.1)</td></tr> </table></div><br clear="ALL">Преобразовав равенство (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161543">12.1</a>), можно получить уравнение, из которого находится<i>S</i>:<div align="CENTER"> <i>S</i> = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 -...

<b>``65 = 64 = 63''.</b>Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

<img width="131" height="131" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61541/problem_61541_img_2.gif" alt="\begin{picture} (80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(... ...(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50) \end{picture}">

<img width="211" height="83" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61541/problem_61541_img_3.gi...

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161115">161115</a>, он смог доказать, что  sin <i>x</i>  всегда равен нулю, а  cos <i>x</i>  – единице: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_2.gif">    <img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_3.gif"></div>Где ошибка в приведённых равенствах?

<b>``1 = - 1''.</b>Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1. </div>После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:<div align="CENTER"> -1 = <i>i</i>² = $\displaystyle \sqrt{-1}$<sup> . </su...

Восстановите алфавит племени Мумбо-Юмбо из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160340">2.6</a>.