Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Шутки и ошибки»

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Обозначим через<i>S</i>сумму следующего ряда:<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} S=1-1+1-1+1-\ldots \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>S</i> = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (12.1)</td></tr> </table></div><br clear="ALL">Преобразовав равенство (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161543">12.1</a>), можно получить уравнение, из которого находится<i>S</i>:<div align="CENTER"> <i>S</i> = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 -...

<b>Из километров — в мили.</b>В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160577">3.125</a>была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот. Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:<div align="CENTER"> 30 = 21 + 8 + 1 = <i>F</i>₈ + <i>F</i>₆ + <i>F</i>₂ = (1010001)_F. </div>Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая<div align="CENTER"> <i>F</i>₇ + <i&gt...

<b>``65 = 64 = 63''.</b>Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

<img width="131" height="131" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61541/problem_61541_img_2.gif" alt="\begin{picture} (80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(... ...(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50) \end{picture}">

<img width="211" height="83" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61541/problem_61541_img_3.gi...

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161115">161115</a>, он смог доказать, что  sin <i>x</i>  всегда равен нулю, а  cos <i>x</i>  – единице: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_2.gif">    <img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_3.gif"></div>Где ошибка в приведённых равенствах?

<b>``1 = - 1''.</b>Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1. </div>После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:<div align="CENTER"> -1 = <i>i</i>² = $\displaystyle \sqrt{-1}$<sup> . </su...

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Восстановите алфавит племени Мумбо-Юмбо из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160340">2.6</a>.

Коля Васин, решая задачу, получил в ответе шестизначное число. А потом он подумал, что это произведение двух трехзначных чисел и выполнил умножение. Каким был первоначальный ответ, если второй ответ оказался в три раза меньше?

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Квадраты двух зеркальных чисел 12 и 21 также являются зеркальными числами (144 и 441). Какие двузначные числа обладают аналогичным свойством? И дополнительный вопрос: в каких системах счисления число 441 будет полным квадратом?

При каких значениях<i>a</i>и<i>b</i>возможно равенство<div align="CENTER"> sin <i>a</i> + sin <i>b</i> = sin(<i>a</i> + <i>b</i>)? </div>

Легко проверить равенства<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">log$\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$$\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log$\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$;    </td> <td align="LEFT">log$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$$\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log$\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.</td> </tr> </table> </div>В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

Иногда, вычитая дроби, можно вычитать их числители и складывать знаменатели. Например:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61530/problem_61530_img_2.gif">

Для каких дробей это возможно?

Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти. Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть<i>n</i>лошадей (с номерами от 1 до<i>n</i>). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до<i>n</i>- 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до<i>n</i>также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до<i>n</i>- 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все<i>n</i>лошадей должны быть одинаковой масти. Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?