Задача
Известно, что ax4 + bx³ + cx² + dx + e, где a, b, c, d, e – данные целые числа, при любом целом x делится на 7.
Доказать, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.
Решение
Подставив x = 0, получим, что e кратно 7. Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что числа a ± b + c ± d кратны 7. Поэтому 2(a + c) и 2(b + d) кратны 7, а значит, a + c и b + d кратны 7. Подставляя x = ±2 и учитывая, что e кратно 7, получаем, что числа 2(8a ± 4b + 2c ± d) кратны 7. Поэтому
4a + c и 4b + d кратны 7. Следовательно, 3a = (4a + c) – (a + c) кратно 7. Поэтому a кратно 7, а значит, c кратно 7. Аналогично доказывается, что b и d кратны 7.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет