Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции»
глава 1. Метод математической индукции
НазадНайдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.
Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?
Найти корни уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">
Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?
<b>Выпуклая оболочка.</b>Докажите, что для любого числа точек плоскости найдется выпуклый многоугольник с вершинами в некоторых из них, содержащий внутри себя все остальные точки.
На плоскости взяты несколько точек так, что на каждой прямой, соединяющей любые две из них, лежит по крайней мере еще одна точка. Докажите, что все точки лежат на одной прямой.
Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение<div align="CENTER"> <i>B</i> - <i>P</i> + Г = 2, </div>где<i>B</i> — число его вершин,<i>P</i> — число ребер, Г — число граней.
Клетки шахматной доски100×100 раскрашены в 4 цвета так, что в любом квадрате 2×2 все клетки разного цвета. Докажите, что угловые клетки раскрашены в разные цвета.
<b>Сумма углов <i>n</i>-угольника.</b>Докажите, что произвольный<i>n</i>-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном<i>n</i>-угольнике равна (<i>n</i>- 2)$\pi$.
На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?
На сколько частей делят пространство<i>n</i>плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей прямой?
На плоскости проведены<i>n</i>окружностей так, что любые две из них пересекаются в паре точек, и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей делят плоскость эти окружности?
На сколько частей делят плоскость <i>n</i> прямых <i>общего положения</i>, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?
<b>Гениальные математики.</b>а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.) б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?
а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину? б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только<i>n</i>колец?
Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на<i>n</i>правильных треугольников для любого<i>n</i>, начиная с шести.
Докажите, что квадрат можно разрезать на<i>n</i>квадратов для любого<i>n</i>, начиная с шести.
а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)? б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)? в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-...
Из квадрата клетчатой бумаги размером16×16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на "уголки'' из трех клеток.
Вычислите произведение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">
Для каких <i>n</i> выполняются неравенства: а) <i>n</i>! > 2<sup><i>n</i></sup>; б) 2<i><sup>n</sup> > n</i>².
Докажите неравенство 2<sup><i>m+n</i>–2</sup> ≥ <i>mn</i>, где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
Докажите неравенство <img width="99" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60310/problem_60310_img_2.gif"> ≥ <img width="95" height="32" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60310/problem_60310_img_3.gif">, где <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> – положительные числа.
Докажите неравенство: |<i>x</i><sub>1</sub>+ ... +<i>x</i><sub>n</sub>| ≤ |<i>x</i><sub>1</sub>| + ... + |<i>x</i><sub>n</sub>|, где<i>x</i><sub>1</sub>,...,<i>x</i><sub>n</sub> — произвольные числа.
Докажите неравенство <i>n</i><sup><i>n</i>+1</sup> > (<i>n</i> + 1)<sup><i>n</i></sup> для натуральных <i>n</i> > 2.